Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular, em seguida escreva a solução geral:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen}(2 t);

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 5y = 3\sin(2t)
usando o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular e, em seguida, escrever a solução geral. Vamos precisar de (1) solução da equação homogênea associada e (2) tentativa de um particular na forma de combinação de \cos(2t) e \sin(2t).

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y'' + 2y' + 5y = 0.
A equação característica é
\lambda^2 + 2\lambda + 5 = 0
cuja solução é
\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = -1 \pm 2\,i.
Como temos raízes complexas -1\pm2i, a solução homogênea é
y_h(t) = C_1 e^{-t}\cos(2t) + C_2 e^{-t}\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p(t) para
y'' + 2y' + 5y = 3\sin(2t).
Como o lado direito é uma combinação de \sin(2t) e \cos(2t), fazemos a tentativa
y_p(t) = A\cos(2t) + B\sin(2t).
Calculamos as derivadas:
y_p' = -2A\sin(2t) + 2B\cos(2t),
y_p'' = -4A\cos(2t) - 4B\sin(2t).

Passo 4

Substituindo y_p\), \(y_p'\) e \(y_p''\) na equação original, obtemos \[(-4A\cos2t - 4B\sin2t) + 2(-2A\sin2t + 2B\cos2t) + 5(A\cos2t + B\sin2t) = 3\sin2t.
Agrupando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
(A + 4B)\cos(2t) + (-4A + B)\sin(2t) = 3\sin(2t).
Igualando coeficientes, temos o sistema
\begin{cases} A + 4B = 0,\\\\ -4A + B = 3. \end{cases}
Da primeira equação (A = -4B]. Substituindo na segunda:
-4(-4B) + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad 16B + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad 17B = 3
Logo
B = \frac{3}{17}, \quad A = -4B = -\frac{12}{17}.
Assim, a solução particular é
y_p(t) = -\frac{12}{17}\cos(2t) + \frac{3}{17}\sin(2t).

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{-t}\cos(2t) + C_2 e^{-t}\sin(2t) - \frac{12}{17}\cos(2t) + \frac{3}{17}\sin(2t).

Resposta

\boxed{ y(t) = C_1 e^{-t}\cos(2t) + C_2 e^{-t}\sin(2t) \;-\;\frac{12}{17}\cos(2t) \;+\;\frac{3}{17}\sin(2t)\,. }

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