Utilize o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular, em seguida escreva a solução geral: y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=3 \operatorname{sen}(2 t);
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + 5y = 3\sin(2t)
usando o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular e, em seguida, escrever a solução geral. Vamos precisar de (1) solução da equação homogênea associada e (2) tentativa de um particular na forma de combinação de \cos(2t) e \sin(2t).
\begin{cases} A + 4B = 0,\\\\ -4A + B = 3. \end{cases}
Da primeira equação (A = -4B]. Substituindo na segunda: -4(-4B) + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad 16B + B = 3 \quad\Longrightarrow\quad 17B = 3
Logo B = \frac{3}{17}, \quad A = -4B = -\frac{12}{17}.
Assim, a solução particular é y_p(t) = -\frac{12}{17}\cos(2t) + \frac{3}{17}\sin(2t).
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: