Calcule as transformadas de Laplace das funções abaixo. Determine também para quais valores de s elas estão bem definidas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular as transformadas de Laplace de uma função específica. A matéria envolvida é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, como seno e cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos transformar:
Vamos simplificar os expoentes:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar das fórmulas da transformada de Laplace para funções do tipo
e
:
Essas fórmulas nos dizem como transformar essas funções do domínio do tempo para o domínio de Laplace.
Passo 4
Vamos aplicar essas fórmulas à nossa função
:
-
Para
: -
-
- Então,
-
-
Para
: -
-
- Então,
-
Passo 5
Agora, como a nossa função
é a diferença dessas duas funções, a transformada de Laplace de
será a diferença das transformadas que acabamos de calcular:
Passo 6
Por último, vamos determinar para quais valores de
essas transformadas estão bem definidas. A transformada de Laplace converge se
for maior que o expoente do termo exponencial na função original.
- Para
, a transformada converge se . - Para
, a transformada converge se .
Como
também satisfaz
, a transformada de Laplace de
estará bem definida para:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
E ela está bem definida para todos os valores de
maiores que 5, ou seja, para
.