Calcule as transformadas de Laplace das funções abaixo. Determine também para quais valores de s elas estão bem definidas.
f(t)=e^9+12 t cos 3 t-e^t sin (10-9) t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para calcular as transformadas de Laplace de uma função específica. A matéria envolvida é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as transformadas de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas, como seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que precisamos transformar:
f(t) = e^9+12 t cos 3t - e^t sin (10-9) t
Vamos simplificar os expoentes:
  • 9+12 t = 102 t = 5t
  • 10 - 9 = 1
Então, a função fica:
f(t) = e^5t cos 3t - e^t sin t

Passo 3

Agora, vamos lembrar das fórmulas da transformada de Laplace para funções do tipo e^at cos(bt) e e^at sin(bt) :
  • Le^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2
  • Le^at sin(bt) = b(s - a)^2 + b^2
Essas fórmulas nos dizem como transformar essas funções do domínio do tempo para o domínio de Laplace.

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas à nossa função f(t) :
  1. Para e^5t cos 3t :
    • a = 5
    • b = 3
    • Então, Le^5t cos 3t = s - 5(s - 5)^2 + 3^2 = s - 5(s - 5)^2 + 9
  2. Para e^t sin t :
    • a = 1
    • b = 1
    • Então, Le^t sin t = 1(s - 1)^2 + 1^2 = 1(s - 1)^2 + 1

Passo 5

Agora, como a nossa função f(t) é a diferença dessas duas funções, a transformada de Laplace de f(t) será a diferença das transformadas que acabamos de calcular:
Lf(t) = s - 5(s - 5)^2 + 9 - 1(s - 1)^2 + 1

Passo 6

Por último, vamos determinar para quais valores de s essas transformadas estão bem definidas. A transformada de Laplace converge se s for maior que o expoente do termo exponencial na função original.
  1. Para e^5t cos 3t , a transformada converge se s > 5 .
  2. Para e^t sin t , a transformada converge se s > 1 .
Como s > 5 também satisfaz s > 1 , a transformada de Laplace de f(t) estará bem definida para:
s > 5

Resposta

A transformada de Laplace de f(t) é:
Lf(t) = s - 5(s - 5)^2 + 9 - 1(s - 1)^2 + 1
E ela está bem definida para todos os valores de s maiores que 5, ou seja, para s > 5 .

Exercícios relacionados