Prove que:
Sendo tg x=34 e pi<x<3 pi2, calcule o valor de sen 2 x e cos 2 x.

Passo 1

O enunciado dá tan x = tfrac34 e sabe-se que pi < x < tfrac3pi2. Precisamos calcular sin 2x e cos 2x. Vamos usar um triângulo de referência para obter sin x e cos x e depois aplicar as fórmulas de ângulo duplo.

Passo 2

Como
tan x = sin xcos x = 34
e x está no terceiro quadrante (onde seno e cosseno são negativos), montamos um triângulo retângulo com cateto oposto -3, cateto adjacente -4 e hipotenusa
raiz(-3)^2+(-4)^2 = 5
Assim,
sin x = -35, cos x = -45

Passo 3

Aplicamos a fórmula do seno de ângulo duplo:
sin 2x = 2,sin x,cos x
Substituindo,
sin 2x = 2 cdot -35 cdot -45 = 2425

Passo 4

Para o cosseno de ângulo duplo, usamos
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x
Logo,
cos 2x = l(-45r)^2 ;-;l(-35r)^2 = 16 - 925 = 725

Resposta

sin 2x = tfrac2425, cos 2x = tfrac725.

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