Exercício 3: Teste da Razão

Verifique a convergência da série:
sumn=1^infty n!n^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sumn=1^infty n!n^n converge ou não. Pra isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta de cálculo importante no estudo de séries. Vamos precisar entender um pouco sobre limites e como comparar termos consecutivos da série para concluir sobre a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série que estamos analisando: sumn=1^infty n!n^n. Aqui, n! representa o fatorial de n, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até n, e n^n é n elevado a si mesmo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série olharando o limite da razão entre termos consecutivos. A regra diz:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an da nossa série. Aqui, an = n!n^n. Então, o próximo termo é an+1 = (n+1)!(n+1)^n+1.

Passo 5

Agora, vamos calcular a razão an+1an:
an+1an = (n+1)!(n+1)^n+1n!n^n

Passo 6

Simplificando a expressão:
Sabendo que , temos:

Passo 7

Simplificando mais:

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (nn+1)^n times 1n+1
Sabemos que:
(nn+1)^n = (1 - 1n+1)^n approx e^-1 quando n to infty
E também:
1n+1 to 0 quando n to infty

Passo 9

Multiplicando os dois resultados:
L = e^-1 times 0 = 0

Resposta

Como L = 0 < 1, pelo Teste da Razão, a série sumn=1^infty n!n^n converge.

Exercícios relacionados