Exercício 2: Teste da Comparação

Verifique a convergência da série:
sumn=1^infty 1n^2+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sumn=1^infty 1n^2+5 converge. Para isso, vamos usar o Teste da Comparação, que serve para comparar a série que estamos analisando com outra que já sabemos se ela converge ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma série que já conhecemos bem: a série p, que é da forma sumn=1^infty 1n^p. Sabemos que essa série converge se p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, se compararmos com p = 2, a série sumn=1^infty 1n^2 converge porque 2 > 1.

Passo 3

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observe que:
n^2 + 5 > n^2
Isso implica que:
1n^2 + 5 < 1n^2
Ou seja, cada termo da nossa série é menor que o termo correspondente da série p que sabemos que converge.

Passo 4

Como a série sumn=1^infty 1n^2 converge e todos os termos da nossa série sumn=1^infty 1n^2+5 são menores que os termos dessa série convergente, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que a série que estamos analisando também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^2+5 converge.

Exercícios relacionados