Exercício 4: Teste Limite da Comparação

Determine a convergência da série:
sumn=1^infty 2 n^3+35 n^3+7

Passo 1

Vamos analisar o exercício que pede para determinar se a série sumn=1^infty 2n^3+35n^3+7 converge ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste Limite da Comparação, que ajuda a decidir sobre a convergência de séries comparando com séries conhecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender o comportamento dos termos quando n fica muito grande. Observamos que os termos principais do numerador e do denominador são 2n^3 e 5n^3, respectivamente. Então, para n grande, 2n^3 + 35n^3 + 7 se comporta aproximadamente como 2n^35n^3 = 25.

Passo 3

O Teste Limite da Comparação diz que se o limite limn to infty anbn = L, onde L é um número real positivo, então a série sum an converge ou diverge da mesma forma que a série sum bn. Aqui, vamos considerar an = 2n^3+35n^3+7 e bn = 25.

Passo 4

Calculamos o limite:
limn to infty anbn = limn to infty 2n^3+35n^3+725 = limn to infty 5(2n^3+3)2(5n^3+7)
Simplificando os termos de maior grau:
= limn to infty 10n^310n^3 = 1
Como o limite é 1, que é um número positivo finito, o teste nos diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento.

Passo 5

Agora, observamos a série sum bn = sum 25. Essa é uma série de termos constantes, que soma um número fixo infinitas vezes. Sabemos que uma série com termos constantes diferentes de zero diverge, pois a soma cresce sem limite.

Resposta

Portanto, pela relação estabelecida, a série sumn=1^infty 2n^3+35n^3+7 diverge.

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