Exercício 4: Teste Limite da Comparação
Determine a convergência da série:
Passo 1
Vamos analisar o exercício que pede para determinar se a série
converge ou não. Para resolver isso, vamos usar o Teste Limite da Comparação, que ajuda a decidir sobre a convergência de séries comparando com séries conhecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para entender o comportamento dos termos quando
fica muito grande. Observamos que os termos principais do numerador e do denominador são
e
, respectivamente. Então, para
grande,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 3
O Teste Limite da Comparação diz que se o limite
, onde
é um número real positivo, então a série
converge ou diverge da mesma forma que a série
. Aqui, vamos considerar
e
.
Passo 4
Calculamos o limite:
Simplificando os termos de maior grau:
Como o limite é 1, que é um número positivo finito, o teste nos diz que
e
têm o mesmo comportamento.
Passo 5
Agora, observamos a série
. Essa é uma série de termos constantes, que soma um número fixo infinitas vezes. Sabemos que uma série com termos constantes diferentes de zero diverge, pois a soma cresce sem limite.
Resposta
Portanto, pela relação estabelecida, a série
diverge.