Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
F(s)=s-9s^2+2 s-8

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s) = s - 9s^2 + 2s - 8
O conteúdo principal aqui é decompor F(s) em frações parciais e usar tabelas conhecidas de transformadas inversas de termos do tipo tfrac1s-a.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador quadrático:
s^2 + 2s - 8 = (s + 4)(s - 2)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
s - 9(s + 4)(s - 2) = As + 4 + Bs - 2
Multiplicando ambos os lados por (s + 4)(s - 2), obtemos
s - 9 = A(s - 2) + B(s + 4)

Passo 4

Comparando coeficientes de
temos o sistema
Da primeira equação (A = 1 - B]. Substituindo na segunda:

e então

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição, fica
F(s) = 13/6s + 4 ;-; 7/6s - 2

Passo 6

Usamos a transformada inversa conhecida:
L^-1!ltfrac1s - ar(t) = e^a t
Logo,
L^-1!ltfrac13/6s + 4r(t) = tfrac136e^-4t, L^-1!ltfrac7/6s - 2r(t) = tfrac76e^2t
Como havia sinal negativo no segundo termo, a resposta final é a diferença desses dois.

Resposta

f(t) = 136,e^-4t ;-; 76,e^2t

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