Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei de Newton do resfriamento (a taxa de resfriamento de uma substância, é proporcional à diferença entre a temperatura T da substância e a do ambiente). Se o café está a uma temperatura de 90^circ C logo depois de coado e um minuto depois a temperatura diminui para 85^circ C em uma cozinha que se encontra a 25^circ C, determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de 65^circ C.

Passo 1

O enunciado aponta a lei de Newton do resfriamento, que diz que a taxa de variação de temperatura T(t) de um corpo é proporcional à diferença entre T(t) e a temperatura ambiente Ta. Aqui temos T(0)=90^circC, T(1)=85^circC e Ta=25^circC. Vamos usar a solução da equação diferencial de 1ª ordem que gera um decaimento exponencial e empregar logaritmos para determinar a constante de proporcionalidade k e, por fim, o tempo necessário para T(t) atingir 65^circC.

Passo 2

A solução geral da lei de Newton do resfriamento é
T(t)=Ta + l(T0 - Tar)e^-k,t,
onde T0=T(0) e k>0 é a constante de resfriamento. Substituindo Ta=25^circC e T0=90^circC obtemos
T(t)=25 + 65,e^-k,t

Passo 3

Para achar k usamos o dado T(1)=85^circC:
85 = 25 + 65,e^-kcdot1 Longrightarrow 60 = 65,e^-k Longrightarrow e^-k=6065=1213
Aplicando logaritmo natural,
-k = ln!l(tfrac1213r) Longrightarrow k = -ln!l(tfrac1213r) = ln!l(tfrac1312r)

Passo 4

Agora impomos T(t)=65^circC:
65 = 25 + 65,e^-k,t Longrightarrow 40 = 65,e^-k,t Longrightarrow e^-k,t = 4065 = 813
Seguindo,
-k,t = ln!l(tfrac813r) Longrightarrow t = -1k,ln!l(tfrac813r) = ln!l(tfrac138r)ln!l(tfrac1312r)

Passo 5

Basta calcular numericamente:
ln!l(tfrac138r)approx 0,4855, ln!l(tfrac1312r)approx 0,08004 Longrightarrow t approx 0,48550,08004 approx 6,07

Resposta

O café levará aproximadamente 6,07 minutos para esfriar até 65^circC.

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