Suponha que a temperatura de uma xícara de café obedece à lei de Newton do resfriamento (a taxa de resfriamento de uma substância, é proporcional à diferença entre a temperatura
da substância
a do ambiente). Se o café está a uma temperatura de
logo depois de coado e um minuto depois a temperatura diminui para
em uma cozinha que se encontra a
, determine o tempo que o café levará para chegar a uma temperatura de
.
Passo 1
O enunciado aponta a lei de Newton do resfriamento, que diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo é proporcional à diferença entre
e a temperatura ambiente
. Aqui temos
,
e
. Vamos usar a solução da equação diferencial de 1ª ordem que gera um decaimento exponencial e empregar logaritmos para determinar a constante de proporcionalidade
e, por fim, o tempo necessário para
atingir
.
Passo 2
A solução geral da lei de Newton do resfriamento é
onde
e
é a constante de resfriamento. Substituindo
e
obtemos
Passo 3
Para achar
usamos o dado
:
Aplicando logaritmo natural,
Passo 4
Agora impomos
:
Seguindo,
Passo 5
Basta calcular numericamente:
Resposta
O café levará aproximadamente
minutos para esfriar até
.