Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace, frações parciais e funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da função
. Precisamos fatorar o polinômio
.
Vamos procurar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
.
Então, podemos fatorar assim:
Passo 3
Agora, reescrevemos a função
com o denominador fatorado:
Para facilitar a inversão da transformada de Laplace, vamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum
para eliminar as frações:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
substituindo valores estratégicos para
.
Passo 5
Primeiro, escolhemos
para eliminar
:
Em seguida, escolhemos
para eliminar
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Isso pode ser simplificado para:
Passo 7
Agora, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace inversas. Sabemos que:
Aplicando isso às duas frações parciais:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: