Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
F(s)=s-9s^2-2 s-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace inversa da função F(s) = s-9s^2-2s-8. Para isso, vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace, frações parciais e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função F(s). Precisamos fatorar o polinômio s^2 - 2s - 8.
Vamos procurar dois números que multiplicados dão -8 e somados dão -2. Esses números são -4 e 2.
Então, podemos fatorar assim:
s^2 - 2s - 8 = (s - 4)(s + 2)

Passo 3

Agora, reescrevemos a função F(s) com o denominador fatorado:
F(s) = s - 9(s - 4)(s + 2)
Para facilitar a inversão da transformada de Laplace, vamos decompor essa fração em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes A e B tais que:
s - 9(s - 4)(s + 2) = As - 4 + Bs + 2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum (s - 4)(s + 2) para eliminar as frações:
s - 9 = A(s + 2) + B(s - 4)
Agora, vamos encontrar os valores de A e B substituindo valores estratégicos para s.

Passo 5

Primeiro, escolhemos s = 4 para eliminar B:
4 - 9 = A(4 + 2) + B(4 - 4) -5 = 6A A = -56
Em seguida, escolhemos s = -2 para eliminar A:
-2 - 9 = A(-2 + 2) + B(-2 - 4) -11 = -6B B = 116

Passo 6

Agora que temos os valores de A e B, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
F(s) = -56s - 4 + 116s + 2
Isso pode ser simplificado para:
F(s) = -56cdot1s - 4 + 116cdot1s + 2

Passo 7

Agora, vamos usar a tabela de transformadas de Laplace inversas. Sabemos que:
L^-11s - a = e^at
Aplicando isso às duas frações parciais:
L^-1-56cdot1s - 4 = -56e^4t
L^-1116cdot1s + 2 = 116e^-2t

Resposta

A transformada de Laplace inversa de F(s) é:
f(t) = -56e^4t + 116e^-2t

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