Considere a função abaixo: Para :
Para :
A solução y(t) do PVI da letra b) escreve-se como para constantes , e uma função . Determine os valores de , c e a função que satisfazem a relação acima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que muda de valor no tempo . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de funções por partes e transformadas de Laplace, que ajudam a resolver equações diferenciais com condições iniciais. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e a função na expressão .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função [f(t)) de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. A função dada é:
Podemos expressar isso usando a função degrau unitário de Heaviside, e 1 para . Assim, podemos escrever:
Aqui, subtraímos 3 vezes o degrau unitário em para mudar o valor de 1 para -2 nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão da solução y(t) :
y(t) = g(t) + k cdot uc(t) cdot g(t - c)
Isso significa que y(t) é composta por duas partes: g(t) , que é a solução geral, e uma parte adicional que é ativada quando t >= c devido ao degrau unitário uc(t) .
Passo 4
Vamos supor que g(t) seja a solução da equação diferencial sem a parte do degrau. Nesse caso, precisamos determinar qual função g(t) atende às condições iniciais do problema. Sem informações adicionais sobre a equação diferencial original, vamos considerar que g(t) corresponde à parte constante da função f(t) , que é 1.
Então, temos:
g(t) = 1
Passo 5
Agora, precisamos determinar os valores de k e c . Observando a expressão original de f(t) e nossa reescrita usando o degrau unitário, vemos que a mudança ocorre em t = 4 . Portanto, c = 4 .
Quanto ao valor de k , percebemos que a mudança na função f(t) é de 1 para -2, ou seja, uma variação de -3. Então, k = -3 .