Consideremos um reservatório contendo
litros de uma solução salina com concentração de
kg de sal por litro começa a receber, a uma vazão constante de
litros por segundo, uma solução salina com concentração de
kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de
litros por segundo.
No caso em que
, verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando
.
No caso em que
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório com volume fixo
que inicialmente contém uma solução salina de concentração
kg/L. Entra continuamente uma solução de concentração
kg/L à vazão
L/s e sai solução homogênea à mesma vazão
L/s. O problema cai em EDO linear de primeira ordem para a massa de sal no tanque. Queremos estudar a concentração quando
.
Passo 2
Definimos
como a massa de sal (em kg) no reservatório ao tempo
. A taxa de entrada de sal é
pois entram
L/s com
kg/L. A taxa de saída de sal é a vazão de saída vezes a concentração atual dentro do tanque:
Logo a EDO para
é
Passo 3
Escrevemos a EDO na forma padrão
O fator integrante é
. Multiplicando ambos os lados por
:
Integrando em
:
logo
Passo 4
Usando a condição inicial
, obtemos
Assim
A concentração no tanque é
Passo 5
Para
o termo exponencial tende a zero, então
Resposta
A concentração de sal no reservatório tende a
kg/L quando
.