Consideremos um reservatório contendo V litros de uma solução salina com concentração de b kg de sal por litro começa a receber, a uma vazão constante de a+ litros por segundo, uma solução salina com concentração de c kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de a- litros por segundo.
No caso em que a+=a-, verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando t infty.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório com volume fixo V que inicialmente contém uma solução salina de concentração b kg/L. Entra continuamente uma solução de concentração c kg/L à vazão a+=a L/s e sai solução homogênea à mesma vazão a-=a L/s. O problema cai em EDO linear de primeira ordem para a massa de sal no tanque. Queremos estudar a concentração quando ttoinfty.

Passo 2

Definimos x(t) como a massa de sal (em kg) no reservatório ao tempo t. A taxa de entrada de sal é
entrada = a cdot c,
pois entram a L/s com c kg/L. A taxa de saída de sal é a vazão de saída vezes a concentração atual dentro do tanque:
saída = acdotx(t)V í
Logo a EDO para x(t) é
dxdt = a,c - a,xV

Passo 3

Escrevemos a EDO na forma padrão
dxdt + aV,x = a,c
O fator integrante é mu(t)=e^aVt. Multiplicando ambos os lados por mu(t):
ddtl(x,e^aVtr) = a,c,e^aVt
Integrando em t:
x(t),e^aVt = integral a,c,e^aVt,dt + K = c,V,e^aVt+K,
logo
x(t) = c,V + K,e^-aVt

Passo 4

Usando a condição inicial x(0)=b,V, obtemos
b,V = c,V + K Longrightarrow K = V,(b - c)
Assim
x(t)=c,V + V,(b-c),e^-aVt
A concentração no tanque é
y(t)=x(t)V = c + (b-c),e^-aVt

Passo 5

Para ttoinfty o termo exponencial tende a zero, então
limttoinftyy(t)=c

Resposta

A concentração de sal no reservatório tende a c kg/L quando ttoinfty.

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