Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{s-9}{s^{2}-2s-8} $. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado no denominador. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: $ s^{2} - 2s - 8 $. Nosso objetivo é completar o quadrado nesse polinômio para facilitar a transformação. Completar o quadrado significa reescrever a expressão de uma forma que pareça um quadrado perfeito mais ou menos alguma constante.
Passo 3
Para completar o quadrado de $ s^{2} - 2s - 8 $, seguimos esses passos:
- Pegamos o coeficiente de $ s $, que é -2, e dividimos por 2: $ \frac{-2}{2} = -1 $.
- Elevamos esse resultado ao quadrado: $ (-1)^2 = 1 $.
- Reescrevemos o polinômio adicionando e subtraindo esse valor:
Então, o denominador fica $ (s - 1)^2 - 9 $.
Passo 4
Agora, nossa função $ F(s) $ fica assim:
Queremos simplificar essa fração para facilitar a aplicação da transformada de Laplace inversa. Vamos separar o numerador para combinar com o denominador.
Passo 5
Vamos reescrever o numerador $ s - 9 $ em termos de $ (s - 1) $:
Substituindo na função:
Passo 6
Agora, vamos lembrar de algumas transformadas de Laplace inversas básicas:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 3 $ (já que $ 9 = 3^2 $).
Passo 7
Aplicando essas fórmulas à nossa função:
- Para o primeiro termo $ \frac{s - 1}{(s - 1)^2 - 9} $:
- Para o segundo termo $ \frac{8}{(s - 1)^2 - 9} $:
Passo 8
Agora, juntando os dois resultados:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{s-9}{s^{2}-2s-8} $ é: