Calcule as transformadas de Laplace inversa das funções abaixo:
F(s)=s-9s^2-2 s-8
OBSERVAÇÃO: FAÇA UTILIZANDO O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO PARA O DENOMINADOR

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{s-9}{s^{2}-2s-8} $. Para isso, vamos usar o método de completar o quadrado no denominador. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: $ s^{2} - 2s - 8 $. Nosso objetivo é completar o quadrado nesse polinômio para facilitar a transformação. Completar o quadrado significa reescrever a expressão de uma forma que pareça um quadrado perfeito mais ou menos alguma constante.

Passo 3

Para completar o quadrado de $ s^{2} - 2s - 8 $, seguimos esses passos:
  1. Pegamos o coeficiente de $ s $, que é -2, e dividimos por 2: $ \frac{-2}{2} = -1 $.
  2. Elevamos esse resultado ao quadrado: $ (-1)^2 = 1 $.
  3. Reescrevemos o polinômio adicionando e subtraindo esse valor:
s^2 - 2s - 8
Então, o denominador fica $ (s - 1)^2 - 9 $.

Passo 4

Agora, nossa função $ F(s) $ fica assim:
F(s)
Queremos simplificar essa fração para facilitar a aplicação da transformada de Laplace inversa. Vamos separar o numerador para combinar com o denominador.

Passo 5

Vamos reescrever o numerador $ s - 9 $ em termos de $ (s - 1) $:
s - 9
Substituindo na função:
(s - 1)

Passo 6

Agora, vamos lembrar de algumas transformadas de Laplace inversas básicas:
  1. L^-1 s - a(s - a)^2 - b^2 = e^at cosh(bt)
  2. L^-1 1(s - a)^2 - b^2 = 12b e^at sinh(bt)
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 3 $ (já que $ 9 = 3^2 $).

Passo 7

Aplicando essas fórmulas à nossa função:
  1. Para o primeiro termo $ \frac{s - 1}{(s - 1)^2 - 9} $:
s - 1(s - 1)^2 - 9
  1. Para o segundo termo $ \frac{8}{(s - 1)^2 - 9} $:
L^-1 s - 1(s - 1)^2 - 9 = e^1 cdot t cosh(3t) = e^t cosh(3t)

Passo 8

Agora, juntando os dois resultados:
L^-1F(s) = e^t cosh(3t) - 43 e^t sinh(3t)

Resposta

A transformada de Laplace inversa de $ F(s) = \frac{s-9}{s^{2}-2s-8} $ é:
F(s) = s-9s^2-2s-8

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