A função densidade de probabilidade
de uma variável aleatória contínua
satisfaz
e
. A probabilidade de que
esteja entre
e
é
Considere agora um par de variáveis aleatórias
e
, tais como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A função conjunta de
e
é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de que
esteja numa região
é
onde
e
, onde esta é uma integral imprópria definida como limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido.
Sendo
o círculo de centro
e raio
, qual a mudança de variáveis conveniente para resolver
.
Sendo
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade conjunta
que descreve a probabilidade de duas variáveis aleatórias contínuas
e
. Queremos calcular a probabilidade de que o par
esteja dentro de um círculo
com centro em
e raio
. Para resolver essa integral dupla, vamos precisar mudar as variáveis para coordenadas polares, que são mais convenientes para regiões circulares.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma mudança de variáveis que centralize o círculo na origem. Para isso, fazemos as seguintes substituições:
Isso desloca o centro do círculo para
.
Passo 3
Agora, nossa integral dupla fica:
Como o círculo agora está centrado na origem, podemos usar coordenadas polares, onde
e
.
Passo 4
Em coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Assim, a integral passa a ser:
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
.
Portanto, a integral se torna:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A mudança de variáveis conveniente é deslocar o centro para a origem
e utilizar coordenadas polares. A integral avaliada é: