A função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória contínua X satisfaz f(x) >= 0 e integral-infty^infty f(x) d x=1. A probabilidade de que X esteja entre a e b é
P(a <= X <= b)=integrala^b f(x) d x
Considere agora um par de variáveis aleatórias X e Y, tais como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A função conjunta de X e Y é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de que (X, Y) esteja numa região B é
l P((X, Y) in B)=integral duplaB f(x, y) d x d y
onde f(x, y) >= 0 e integral duplaR^2 f(x, y) d x d y=integral-infty^infty integral-infty^infty f(x, y) d x d y=1, onde esta é uma integral imprópria definida como limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido.
Sendo B o círculo de centro (4,6) e raio R, qual a mudança de variáveis conveniente para resolver
integral duplaB e^-5000 mid(x-4)^2+(y-6)^2) d y d x.
integral duplaB e^-5000 mid(x-4)^2+(y-6)^2) d y d x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade conjunta f(x, y) que descreve a probabilidade de duas variáveis aleatórias contínuas X e Y . Queremos calcular a probabilidade de que o par (X, Y) esteja dentro de um círculo B com centro em (4,6) e raio R . Para resolver essa integral dupla, vamos precisar mudar as variáveis para coordenadas polares, que são mais convenientes para regiões circulares.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma mudança de variáveis que centralize o círculo na origem. Para isso, fazemos as seguintes substituições:
u = x - 4 v = y - 6
Isso desloca o centro do círculo para (0,0) .

Passo 3

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaB e^-5000 (u^2 + v^2) , dv , du
Como o círculo agora está centrado na origem, podemos usar coordenadas polares, onde u = r cos theta e v = r sin theta .

Passo 4

Em coordenadas polares, o elemento de área du , dv se transforma em r , dr , dtheta . Assim, a integral passa a ser:
integral0^2pi integral0^R e^-5000 r^2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a r :
integral0^R e^-5000 r^2 , r , dr
Fazendo a substituição t = 5000 r^2 , temos dt = 10000 r , dr , ou seja, r , dr = dt10000 .
Portanto, a integral se torna:
110000 integral0^5000 R^2 e^-t , dt = 110000 (1 - e^-5000 R^2)

Passo 6

Agora, integramos em relação a theta :
integral0^2pi 110000 (1 - e^-5000 R^2) , dtheta = 2pi10000 (1 - e^-5000 R^2)

Resposta

A mudança de variáveis conveniente é deslocar o centro para a origem (u = x - 4, v = y - 6) e utilizar coordenadas polares. A integral avaliada é:
2pi10000 (1 - e^-5000 R^2)

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