Dado
tal que
, achar
tais que
. Quantos vetores
existem para cada
, com esta propriedade?
Passo 1
O enunciado pede: dado
com
, encontrar todos os vetores
tais que
-
-
.
O conteúdo é geometria analítica eme uso de produto interno para traduzir condições de norma em equações algébricas.
Passo 2
Escrevemos as duas condições em termos de produto interno:
Como
e
, a segunda condição dá
Passo 3
Agora temos que
deve satisfazer simultaneamente
Geometricamente,
é a circunferência de centro na origem e raio 1, e
fixa o ângulo entre
e
em
Num plano, dado um vetor unitário
, há exatamente dois vetores unitários que formam ângulo
ou
com ele.
Passo 4
Para dar uma fórmula explícita, escolhamos um vetor
tal que
e
. Então escrevemos
Das condições
e
vem
Assim
Passo 5
Concluímos que, para cada
fixo de norma 1, existem exatamente dois vetores
que satisfazem
e
.
Resposta
Existem dois vetores
para cada
, dados por
onde
é um vetor unitário ortogonal a
.