Dado u in R^2 tal que |u|=1, achar v in R^2 tais que 1=|nu|=|u+nu|. Quantos vetores v existem para cada u, com esta propriedade?

Passo 1

O enunciado pede: dado uinR^2 com |u|=1, encontrar todos os vetores vinR^2 tais que
  1. |v|=1
  2. |u+v|=1.
    O conteúdo é geometria analítica em R^2 e uso de produto interno para traduzir condições de norma em equações algébricas.

Passo 2

Escrevemos as duas condições em termos de produto interno:
|v|^2 = vcdot v = 1,
|u+v|^2 = (u+v)cdot(u+v) = ucdot u + 2,ucdot v + vcdot v = 1
Como |u|^2 = ucdot u = 1 e |v|^2=1, a segunda condição dá
1 + 2,ucdot v + 1 = 1 Longrightarrow 2 + 2,ucdot v = 1 Longrightarrow ucdot v = -tfrac12

Passo 3

Agora temos que v deve satisfazer simultaneamente
vcdot v = 1 e ucdot v = -tfrac12
Geometricamente, |v|=1 é a circunferência de centro na origem e raio 1, e ucdot v=-tfrac12 fixa o ângulo entre u e v em
theta = arccosl(-tfrac12r) = 120^circ
Num plano, dado um vetor unitário u, há exatamente dois vetores unitários que formam ângulo 120^circ ou 240^circ com ele.

Passo 4

Para dar uma fórmula explícita, escolhamos um vetor winR^2 tal que |w|=1 e wperp u. Então escrevemos
v = alpha,u + beta,w
Das condições |v|^2=1 e ucdot v=-tfrac12 vem
alpha = ucdot v = -tfrac12, alpha^2 + beta^2 = 1 ;Longrightarrow; beta = pmraiz1 - l(-tfrac12r)^2 = pmtfracraiz32
Assim
v = -tfrac12,u ;pm;tfracraiz32,w

Passo 5

Concluímos que, para cada u fixo de norma 1, existem exatamente dois vetores v que satisfazem |v|=1 e |u+v|=1.

Resposta

Existem dois vetores v para cada u, dados por
v = -tfrac12,u ;pm;tfracraiz32,w,
onde w é um vetor unitário ortogonal a u.

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