Resolva o problema de valor inicial.
l y^prime prime+y^prime-2 y=0 y(0)=2, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y' - 2y = 0,
sujeita a
y(0)=2, y'(0)=-1
O método consiste em achar a equação característica, obter a solução geral e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo y=e^rx, o que leva a
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo essa equação quadrática:

Passo 3

Usamos a fórmula de Bhaskara em
r^2 + r - 2 = 0,
obtemos
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
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r1 = 1, r2 = -2

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^-2x
Calculamos também a derivada
y'(x) = C1 e^x - 2,C2 e^-2x

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais:
  1. Em x=0, y(0)=2
C1 + C2 = 2
  1. Em x=0, y'(0)=-1
C1 - 2,C2 = -1
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = 2, C1 - 2C2 = -1,
subtraindo a segunda da primeira ou por qualquer método de sistemas, achamos
C2 = 1, C1 = 1

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução única do problema de valor inicial:

Resposta

y(x) = e^x + e^-2x

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