A função densidade de probabilidade f de uma variável aleatória contínua X satisfaz f(x) >= 0 e integral-infty^infty f(x) d x=1. A probabilidade de que X esteja entre a e b é
P(a <= X <= b)=integrala^b f(x) d x
Considere agora um par de variáveis aleatórias X e Y, tais como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A função conjunta de X e Y é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de que (X, Y) esteja numa região B é
l P((X, Y) in B)=integral duplaB f(x, y) d x d y
onde f(x, y) >= 0 e integral duplaR^2 f(x, y) d x d y=integral-infty^infty integral-infty^infty f(x, y) d x d y=1, onde esta é uma integral imprópria definida como limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido.
O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja 10 minutos, e que, depois de entrarem no cinema, o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de 5 minutos. Supondo que os tempos de espera sejam independentes e que as funções densidade individual são
l f1(x)=ll 0, & x<0 110 e^-x10, & se x >= 0 f2(y)=ll 0, & y<0 15 e^-85, & se y >= 0
determine a função densidade conjunta f(x, y). Usando essa função f, determine a probabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir a seu assento, ou seja, qual a probabilidade de X+Y<20.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que esse exercício está pedindo é para a gente trabalhar com duas variáveis aleatórias contínuas, que no caso são o tempo de espera na fila para comprar entrada no cinema ( X) e o tempo para comprar pipoca depois de entrar ( Y). A primeira parte é encontrar a função densidade conjunta dessas duas variáveis, ou seja, como elas se relacionam juntas. Depois, vamos calcular a probabilidade de que a soma desses dois tempos seja menor que 20 minutos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade, independência de variáveis e integração dupla. Mas relaxa que a gente vai passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas variáveis aleatórias são independentes, a função densidade conjunta delas é simplesmente o produto das funções densidades individuais. Isso significa que:
f(x, y) = f1(x) times f2(y)
Aqui, f1(x) é a função densidade para X e f2(y) é a função densidade para Y.

Passo 3

Vamos olhar as funções densidade individuais fornecidas:
Para X:
f1(x)=ll 0, & x<0 110 e^-x10, & x >= 0
Para Y:
f2(y)=ll 0, & y<0 15 e^-y5, & y >= 0
Notei que na função f2(y) tinha um erro no expoente, então ajustei para -y5 para que faça sentido como uma função de densidade exponencial.

Passo 4

Agora, aplicando a regra da independência, multiplicamos as duas funções:
f(x, y) = f1(x) times f2(y) = (110 e^-x10) times (15 e^-y5) = 150 e^-x10 - y5
Então, a função densidade conjunta é:
f(x, y) = ll 0, & x<0 ou y<0 150 e^-x10 - y5, & x >= 0 e y >= 0

Passo 5

Agora que temos a função densidade conjunta, vamos calcular a probabilidade de que X + Y < 20. Isso significa que queremos a área sob a função f(x, y) onde a soma das duas variáveis é menor que 20. Matematicamente, isso é representado por:
P(X + Y < 20) = integral duplax + y < 20 f(x, y) , dx , dy

Passo 6

Para resolver essa integral dupla, vamos mudar as variáveis. Podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir u = x + y e v = x. O jacobiano dessa transformação é 1, então não precisamos ajustar a integral com nenhum fator extra.
Os limites da integral ficam:
  • Para u de 0 a 20
  • Para v de 0 a u
Então, a integral se torna:
P(X + Y < 20) = integral0^20 integral0^u 150 e^-v10 - u - v5 , dv , du

Passo 7

Simplificando o expoente:
-v10 - u - v5 = -v10 - u5 + v5 = -u5 + v10
Então, a integral fica:
P(X + Y < 20) = 150 e^-u5 integral0^u e^v10 , dv , du

Passo 8

Calculando a integral interna:
integral0^u e^v10 , dv = 10 ( e^u10 - 1 )
Então, substituindo de volta:
P(X + Y < 20) = 150 integral0^20 10 ( e^u10 - u5 - e^-u5 ) , du = 15 integral0^20 ( e^-u10 - e^-u5 ) , du

Passo 9

Agora, vamos integrar em relação a u:
integral0^20 e^-u10 , du = -10 e^-u10 |0^20 = -10 ( e^-2 - 1 ) = 10 (1 - e^-2)
integral0^20 e^-u5 , du = -5 e^-u5 |0^20 = -5 ( e^-4 - 1 ) = 5 (1 - e^-4)
Substituindo de volta:
P(X + Y < 20) = 15 ( 10 (1 - e^-2) - 5 (1 - e^-4) ) = 2 (1 - e^-2) - (1 - e^-4) = 2 - 2 e^-2 - 1 + e^-4 = 1 - 2 e^-2 + e^-4

Resposta

A probabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir ao seu assento é:
P(X + Y < 20) = 1 - 2 e^-2 + e^-4 approx 1 - 2 (0.1353) + 0.0183 approx 1 - 0.2706 + 0.0183 = 0.7477
Então, a probabilidade é aproximadamente 74,77%.

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