A função densidade de probabilidade
de uma variável aleatória contínua
satisfaz
e
. A probabilidade de que
esteja entre
e
é
Considere agora um par de variáveis aleatórias
e
, tais como o tempo de vida de dois componentes de uma máquina ou a altura e o peso de uma mulher adulta escolhida ao acaso. A função conjunta de
e
é uma função de duas variáveis tais que a probabilidade de que
esteja numa região
é
onde
e
, onde esta é uma integral imprópria definida como limite da integral dupla sobre o círculo ou retângulo expandido.
O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja 10 minutos, e que, depois de entrarem no cinema, o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de 5 minutos. Supondo que os tempos de espera sejam independentes e que as funções densidade individual são
determine a função densidade conjunta
. Usando essa função
, determine a probabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir a seu assento, ou seja, qual a probabilidade de
.
O gerente de um cinema determina que o tempo médio de espera na fila para pessoas comprarem entrada para o filme da semana seja 10 minutos, e que, depois de entrarem no cinema, o tempo médio que levam para comprar pipoca seja de 5 minutos. Supondo que os tempos de espera sejam independentes e que as funções densidade individual são
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que esse exercício está pedindo é para a gente trabalhar com duas variáveis aleatórias contínuas, que no caso são o tempo de espera na fila para comprar entrada no cinema (
) e o tempo para comprar pipoca depois de entrar (
). A primeira parte é encontrar a função densidade conjunta dessas duas variáveis, ou seja, como elas se relacionam juntas. Depois, vamos calcular a probabilidade de que a soma desses dois tempos seja menor que 20 minutos. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre funções de densidade de probabilidade, independência de variáveis e integração dupla. Mas relaxa que a gente vai passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas variáveis aleatórias são independentes, a função densidade conjunta delas é simplesmente o produto das funções densidades individuais. Isso significa que:
Aqui,
é a função densidade para
e
é a função densidade para
.
Passo 3
Vamos olhar as funções densidade individuais fornecidas:
Para
:
Para
:
Notei que na função
tinha um erro no expoente, então ajustei para
para que faça sentido como uma função de densidade exponencial.
Passo 4
Agora, aplicando a regra da independência, multiplicamos as duas funções:
Então, a função densidade conjunta é:
Passo 5
Agora que temos a função densidade conjunta, vamos calcular a probabilidade de que
. Isso significa que queremos a área sob a função
onde a soma das duas variáveis é menor que 20. Matematicamente, isso é representado por:
Passo 6
Para resolver essa integral dupla, vamos mudar as variáveis. Podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
e
. O jacobiano dessa transformação é 1, então não precisamos ajustar a integral com nenhum fator extra.
Os limites da integral ficam:
- Para
de 0 a 20 - Para
de 0 a
Então, a integral se torna:
Passo 7
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:
Passo 8
Calculando a integral interna:
Então, substituindo de volta:
Passo 9
Agora, vamos integrar em relação a
:
Substituindo de volta:
Resposta
A probabilidade de um espectador esperar menos de 20 minutos até se dirigir ao seu assento é:
Então, a probabilidade é aproximadamente 74,77%.