Use a transformada de Laplace para encontrar y(t) :
y^{\prime}+2 y=e^{-8 t}, y(0)=4,

Passo 1

O enunciado pede resolver a EDO linear de primeira ordem
y'(t) + 2\,y(t) = e^{-8t},\quad y(0)=4
usando transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades \mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0), \mathcal{L}\{e^{-8t}\}(s)=\tfrac{1}{s+8}
e da transformada inversa para voltar a y(t).

Passo 2

Denote Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s). Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados:
\mathcal{L}\{y'\}(s) + 2\,\mathcal{L}\{y\}(s) = \mathcal{L}\{e^{-8t}\}(s)
ou seja,
\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr) + 2\,Y(s) = \frac{1}{s+8}.
Substituindo y(0)=4, obtemos
(s+2)\,Y(s) - 4 = \frac{1}{s+8}.

Passo 3

Isolando Y(s), vem
(s+2)\,Y(s) = 4 + \frac{1}{s+8} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{4}{s+2} + \frac{1}{(s+2)(s+8)}.

Passo 4

Para inverter a segunda fração, fazemos fração parcial:
\frac{1}{(s+2)(s+8)} = \frac{A}{s+2} + \frac{B}{s+8} \quad\Longrightarrow\quad A+B=0,\quad 8A+2B=1
daí A=\tfrac{1}{6}, B=-\tfrac{1}{6}. Logo
Y(s) = \frac{4}{s+2} + \frac{1}{6}\,\frac{1}{s+2} - \frac{1}{6}\,\frac{1}{s+8} = \frac{25/6}{s+2} - \frac{1/6}{s+8}.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa em cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{25/6}{s+2}\Bigr\}(t) = \frac{25}{6}\,e^{-2t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1/6}{s+8}\Bigr\}(t) = \frac{1}{6}\,e^{-8t}.
Portanto
y(t) = \frac{25}{6}\,e^{-2t} \;-\;\frac{1}{6}\,e^{-8t}.

Resposta

y(t) = \frac{25}{6}\,e^{-2t} - \frac{1}{6}\,e^{-8t}.

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