Use a transformada de Laplace para encontrar y(t) :
y^{\prime}-y=1+t e^{t}, y(0)=1,

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y'(t) - y(t) = 1 + t\,e^t,
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é a transformada de Laplace: vamos usar
L\{y'(t)\} = s\,Y(s) - y(0),\quad L\{y(t)\} = Y(s),\quad L\{1\} = \frac{1}{s},\quad L\{t\,e^{at}\} = \frac{1}{(s-a)^2}.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados:
L\{y'\} - L\{y\} = L\{1\} + L\{t\,e^t\},
isto é,
\bigl(s\,Y(s)-y(0)\bigr) - Y(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{(s-1)^2}.
Substituindo y(0)=1, obtemos
(s-1)\,Y(s) - 1 = \frac{1}{s} + \frac{1}{(s-1)^2}.

Passo 3

Isolando Y(s):
(s-1)\,Y(s)=1+\frac{1}{s}+\frac{1}{(s-1)^2},
Y(s)=\frac{1}{s-1}+\frac{1}{s(s-1)}+\frac{1}{(s-1)^3}.
Fazendo frações parciais em \frac{1}{s(s-1)}:
\frac{1}{s(s-1)}=-\frac{1}{s}+\frac{1}{s-1},
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Y(s)=-\frac{1}{s}+\frac{2}{s-1}+\frac{1}{(s-1)^3}.

Passo 4

Aplicando a transformada inversa termo a termo:
- L^{-1}\bigl\{-1/s\bigr\}=-1.
- L^{-1}\bigl\{2/(s-1)\bigr\}=2\,e^t.
- L^{-1}\bigl\{1/(s-1)^3\bigr\}=\frac{t^2}{2}\,e^t.
Somando,
y(t)=-1+2\,e^t+\frac{t^2}{2}\,e^t =\Bigl(\frac{t^2}{2}+2\Bigr)e^t-1.

Resposta

y(t)=\Bigl(\frac{t^2}{2}+2\Bigr)e^t-1.

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