Calcule as transformadas de Laplace.
\mathcal{L}\left\{\cos ^{2}(a t)\right\}, a \in \mathbb{R}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de \cos^2(at), com a\in\mathbb{R}.
Informações dadas: a função a transformar é \cos^2(at). Não há outras condições explícitas; assumimos a transformada de Laplace usual para t\ge 0.

Passo 2

Lembrete da definição (útil para entender o que vamos fazer): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
quando essa integral converge (normalmente requer \operatorname{Re}(s) suficientemente grande). Aqui vamos usar propriedades da transformada (linearidade) e identidades trigonométricas para evitar fazer a integral diretamente sobre \cos^2(at).

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica conhecida (fácil de lembrar pela fórmula do ângulo duplo):
\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1.
Dessa identidade segue
\cos^2(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=at obtemos a versão que usamos:
\cos^2(at)=\frac{1+\cos(2at)}{2}.

Passo 4

Pela identidade anterior, a transformada fica
\mathcal{L}\{\cos^2(at)\}(s)=\mathcal{L}\left\{\frac{1+\cos(2at)}{2}\right\}(s).
Usando linearidade da transformada (constante pode sair, soma vira soma):
\mathcal{L}\{\cos^2(at)\}(s)=\frac{1}{2}\mathcal{L}\{1\}(s)+\frac{1}{2}\mathcal{L}\{\cos(2at)\}(s).

Passo 5

Calculo de \mathcal{L}\{1\}(s): pela definição,
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt.
Para \operatorname{Re}(s)>0 essa integral converge e dá
\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{s}.
Portanto \mathcal{L}\{1\}(s)=\dfrac{1}{s} para \operatorname{Re}(s)>0.

Passo 6

Calculo de \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s) (aqui usamos \omega=2a depois). Uma forma eficiente é usar exponencial complexa: para \operatorname{Re}(s)>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{i\omega t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-i\omega)t}\,dt=\frac{1}{s-i\omega}.
A transformada de \cos(\omega t) é a parte real dessa integral, então
\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s)=\operatorname{Re}\!\left(\frac{1}{s-i\omega}\right)=\frac{s}{s^{2}+\omega^{2}}.
Assim, para \omega=2a,
\mathcal{L}\{\cos(2at)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4a^{2}} \qquad (\operatorname{Re}(s)>0).

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo os resultados:
\mathcal{L}\{\cos^2(at)\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4a^{2}}.

Passo 8

Vamos simplificar essa soma para uma única fração. Colocando sobre denominador comum s(s^{2}+4a^{2}):
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4a^{2}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{s^{2}+4a^{2}}{s(s^{2}+4a^{2})}+\frac{1}{2}\cdot\frac{s^{2}}{s(s^{2}+4a^{2})}.
Somando numeradores:
\frac{1}{2}\cdot\frac{s^{2}+4a^{2}+s^{2}}{s(s^{2}+4a^{2})} =\frac{1}{2}\cdot\frac{2s^{2}+4a^{2}}{s(s^{2}+4a^{2})}.
Colocando fator 2 em evidência no numerador e simplificando:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2(s^{2}+2a^{2})}{s(s^{2}+4a^{2})} =\frac{s^{2}+2a^{2}}{s(s^{2}+4a^{2})}.

Passo 9

Conclusão e condição de convergência: a expressão obtida vale para \operatorname{Re}(s)>0 (região onde as integrais definidoras convergem). Dica prática: decorar a identidade \cos^2=\tfrac{1+\cos 2\theta}{2} e que \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}; isso resolve muitos exercícios de forma rápida na prova. Força aí — você já tá no caminho!

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{\cos^2(at)\}(s)=\frac{s^{2}+2a^{2}}{s\bigl(s^{2}+4a^{2}\bigr)},\quad \operatorname{Re}(s)>0

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