Calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace de
, com
.
Informações dadas: a função a transformar é . Não há outras condições explícitas; assumimos a transformada de Laplace usual para
.
Informações dadas: a função a transformar é
Passo 2
Lembrete da definição (útil para entender o que vamos fazer): a transformada de Laplace de uma função
é
quando essa integral converge (normalmente requer
suficientemente grande). Aqui vamos usar propriedades da transformada (linearidade) e identidades trigonométricas para evitar fazer a integral diretamente sobre
.
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica conhecida (fácil de lembrar pela fórmula do ângulo duplo):
Dessa identidade segue
Aplicando com
obtemos a versão que usamos:
Passo 4
Pela identidade anterior, a transformada fica
Usando linearidade da transformada (constante pode sair, soma vira soma):
Passo 5
Calculo de
: pela definição,
Para
essa integral converge e dá
Portanto
para
.
Passo 6
Calculo de
(aqui usamos
depois). Uma forma eficiente é usar exponencial complexa: para
,
A transformada de
é a parte real dessa integral, então
Assim, para
,
Passo 7
Voltando à expressão do Passo 4 e substituindo os resultados:
Passo 8
Vamos simplificar essa soma para uma única fração. Colocando sobre denominador comum
:
Somando numeradores:
Colocando fator
em evidência no numerador e simplificando:
Passo 9
Conclusão e condição de convergência: a expressão obtida vale para
(região onde as integrais definidoras convergem). Dica prática: decorar a identidade
e que
; isso resolve muitos exercícios de forma rápida na prova. Força aí — você já tá no caminho!