Calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas:
a função é
.
o operador pedido é
.
devemos encontrar uma expressão em termos de
que represente
.
Observação importante (relevante para convergência): a transformada só existe para valores de que tornem a integral de Laplace convergente — como veremos, isso exigirá
.
Informações dadas:
Observação importante (relevante para convergência): a transformada só existe para valores de
Passo 2
Vou lembrar a definição da transformada de Laplace para você, bem devagarinho:
A transformada de Laplace de uma função (para
) é a integral
A transformada de Laplace de uma função
Aqui
é a variável complexa da transformada (no cálculo prático tratamos
como real maior que certa constante para garantir convergência). A ideia é multiplicar
por
e integrar de 0 a infinito.
Passo 3
Existe uma propriedade muito útil chamada "deslocamento na variável
" ou “shifting” que facilita muito este tipo de problema. Ela diz o seguinte:
se , então
se
Explicando por que isso é verdade: pela definição,
que é exatamente
. Ou seja, multiplicar por
corresponde a substituir
por
na transformada.
Passo 4
Então o plano é: primeiro achar
(uma transformada padrão), e depois aplicar o deslocamento com
.
Vamos calcular
. Denotemos
Para calcular
podemos usar integração por partes duas vezes (vou fazer passo a passo). Seja
Fazendo integração por partes com
(portanto
) e
(logo
), obtemos
Os termos de fronteira valem zero no infinito (para
) e em
temos
. Assim
Chame a integral que apareceu de
. Agora calcule
por partes: tome
(
) e
(
). Isso dá
As fronteiras são zero novamente, então
Voltando à expressão de
,
Agora resolvemos para
:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a propriedade do deslocamento com
. Se
, então
Quanto à região de convergência: como a transformada de
exige
, ao substituir
a condição passa a ser
, ou seja
.