Calcule as transformadas de Laplace.
\mathcal{L}\left\{e^{3 t} \cos (2 t)\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \displaystyle e^{3t}\cos(2t).
Informações dadas:
\displaystyle a função é \displaystyle e^{3t}\cos(2t).
\displaystyle o operador pedido é \displaystyle \mathcal{L}\{\cdot\}.
\displaystyle devemos encontrar uma expressão em termos de \displaystyle s que represente \displaystyle \mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\}.
Observação importante (relevante para convergência): a transformada só existe para valores de \displaystyle s que tornem a integral de Laplace convergente — como veremos, isso exigirá \displaystyle \operatorname{Re}(s)>3.

Passo 2

Vou lembrar a definição da transformada de Laplace para você, bem devagarinho:
A transformada de Laplace de uma função \displaystyle f(t) (para t\ge 0) é a integral
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt.
Aqui \displaystyle s é a variável complexa da transformada (no cálculo prático tratamos \displaystyle s como real maior que certa constante para garantir convergência). A ideia é multiplicar \displaystyle f(t) por \displaystyle e^{-st} e integrar de 0 a infinito.

Passo 3

Existe uma propriedade muito útil chamada "deslocamento na variável s" ou “shifting” que facilita muito este tipo de problema. Ela diz o seguinte:
se \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então
\mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=F(s-a).
Explicando por que isso é verdade: pela definição,
\mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} e^{a t} f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t)\,dt,
que é exatamente \displaystyle F(s-a). Ou seja, multiplicar por \displaystyle e^{a t} corresponde a substituir \displaystyle s por \displaystyle s-a na transformada.

Passo 4

Então o plano é: primeiro achar \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s) (uma transformada padrão), e depois aplicar o deslocamento com \displaystyle a=3.
Vamos calcular \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s). Denotemos
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(2t)\,dt.
Para calcular I(s) podemos usar integração por partes duas vezes (vou fazer passo a passo). Seja
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(2t)\,dt.
Fazendo integração por partes com \displaystyle u=\cos(2t) (portanto \displaystyle du=-2\sin(2t)\,dt) e \displaystyle dv=e^{-st}\,dt (logo \displaystyle v=-\tfrac{1}{s}e^{-st}), obtemos
I(s)=\left[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\cos(2t)\right]_{0}^{\infty}-\int_{0}^{\infty}\left(-\tfrac{1}{s}e^{-st}\right)(-2\sin(2t))\,dt.
Os termos de fronteira valem zero no infinito (para \operatorname{Re}(s)>0) e em t=0 temos -\tfrac{1}{s}\cos0=-\tfrac{1}{s}. Assim
I(s)=\tfrac{1}{s}-\tfrac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(2t)\,dt.
Chame a integral que apareceu de J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin(2t)\,dt. Agora calcule J(s) por partes: tome \displaystyle u=\sin(2t) ( \displaystyle du=2\cos(2t)dt) e \displaystyle dv=e^{-st}dt ( \displaystyle v=-\tfrac{1}{s}e^{-st}). Isso dá
J(s)=\left[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\sin(2t)\right]_{0}^{\infty}+\tfrac{2}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(2t)\,dt.
As fronteiras são zero novamente, então
J(s)=\tfrac{2}{s}I(s).
Voltando à expressão de I(s),
I(s)=\tfrac{1}{s}-\tfrac{2}{s}J(s)=\tfrac{1}{s}-\tfrac{2}{s}\cdot\left(\tfrac{2}{s}I(s)\right)=\tfrac{1}{s}-\tfrac{4}{s^{2}}I(s).
Agora resolvemos para I(s):
I(s)\left(1+\tfrac{4}{s^{2}}\right)=\tfrac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad I(s)=\frac{1/s}{1+4/s^{2}}=\frac{s}{s^{2}+4}.
Portanto
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+4},\qquad \text{(válido para }\operatorname{Re}(s)>0\text{).}á

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade do deslocamento com \displaystyle a=3. Se \displaystyle \mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s)=\dfrac{s}{s^{2}+4}, então
\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\}(s)=\frac{s-3}{(s-3)^{2}+4}.
Quanto à região de convergência: como a transformada de \cos(2t) exige \operatorname{Re}(s)>0, ao substituir s\mapsto s-3 a condição passa a ser \operatorname{Re}(s-3)>0, ou seja \operatorname{Re}(s)>3.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\}(s)=\frac{s-3}{(s-3)^{2}+4} (válido para \displaystyle \operatorname{Re}(s)>3).

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