Usando propriedades das transformadas de Laplace, calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função
.
Informações dadas: a função a transformar é . Não há outras condições explícitas no enunciado.
Informações dadas: a função a transformar é
Passo 2
Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função
(definida para
),
onde
é uma variável complexa (na prática, para a maioria dos exercícios usamos
real suficientemente grande). Essa integral precisa convergir para que a transformada exista. Aqui vamos usar propriedades da transformada em vez de calcular a integral diretamente do início.
Passo 3
Propriedade chave que vamos usar (shift na frequência / multiplicação por exponencial): se
, então, para qualquer constante
,
Prova curta desta propriedade (para você entender bem): partimos da definição,
Mas o lado direito é exatamente
avaliado em
, ou seja
. Aqui
é a constante que multiplica
no expoente e
é a variável da transformada.
Passo 4
Agora precisamos de [F(s)=\mathcal{L}{\sin(3t)}(s)). Vou obter a transformada de
de forma geral (aqui
), com um passo-a-passo que você pode reproduzir na prova.
Defina
assumindo
para garantir convergência. Fazemos integração por partes duas vezes ou usamos um sistema com a transformada de
. Vou usar o método do sistema rápido:
Defina também
Calculando por derivação simples (ou integração por partes) obtém-se o sistema
(Se quiser, eu mostro a integração por partes detalhada: deriva-se e resolve o sistema; aqui eu uso o resultado padrão desse procedimento.) Agora resolvemos para
. Substituindo na primeira:
Colocando em evidência
:
Portanto, para
,
válido para
.]
Passo 5
Aplicando a propriedade do Passo 3 com
(porque temos
) e
, obtemos
Substituindo
na expressão de
do Passo 4:
Quanto à região de convergência: como originalmente
exige
, após a substituição
a condição torna-se
, isto é
.
Passo 6
Resumo prático (para decorar e usar na prova): a propriedade de deslocamento em
é super útil — multiplicar por
no tempo corresponde a substituir
por
na transformada. Aqui com
e
deu a resposta direta acima. Você pode conferir derivando a partir da definição se quiser, mas esse método por propriedades é rápido e seguro.