Usando propriedades das transformadas de Laplace, calcule:
\mathcal{L}\left\{e^{t} \operatorname{sen}(3 t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a transformada de Laplace da função e^{t}\operatorname{sen}(3t).
Informações dadas: a função a transformar é e^{t}\operatorname{sen}(3t). Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Lembrando a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (definida para t\ge 0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, para a maioria dos exercícios usamos s real suficientemente grande). Essa integral precisa convergir para que a transformada exista. Aqui vamos usar propriedades da transformada em vez de calcular a integral diretamente do início.

Passo 3

Propriedade chave que vamos usar (shift na frequência / multiplicação por exponencial): se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), então, para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=F(s-a).
Prova curta desta propriedade (para você entender bem): partimos da definição,
\mathcal{L}\{e^{a t} f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} \big(e^{a t} f(t)\big)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t)\,dt.
Mas o lado direito é exatamente \mathcal{L}\{f(t)\} avaliado em s-a, ou seja F(s-a). Aqui a é a constante que multiplica t no expoente e s é a variável da transformada.

Passo 4

Agora precisamos de [F(s)=\mathcal{L}{\sin(3t)}(s)). Vou obter a transformada de \sin(bt) de forma geral (aqui b=3), com um passo-a-passo que você pode reproduzir na prova.
Defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\sin(bt)\,dt,
assumindo \operatorname{Re}(s)>0 para garantir convergência. Fazemos integração por partes duas vezes ou usamos um sistema com a transformada de \cos(bt). Vou usar o método do sistema rápido:
Defina também
J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\cos(bt)\,dt.
Calculando por derivação simples (ou integração por partes) obtém-se o sistema
\begin{cases} sJ(s)+bI(s)=1,\\[4pt] -sI(s)+bJ(s)=0. \end{cases}
(Se quiser, eu mostro a integração por partes detalhada: deriva-se e resolve o sistema; aqui eu uso o resultado padrão desse procedimento.) Agora resolvemos para I(s)\]. Da segunda equação temos \(J(s)=\dfrac{s}{b}I(s). Substituindo na primeira:
s\left(\frac{s}{b}I(s)\right)+bI(s)=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{s^{2}}{b}I(s)+bI(s)=1.
Colocando em evidência I(s):
I(s)\left(\frac{s^{2}+b^{2}}{b}\right)=1 \quad\Rightarrow\quad I(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Portanto, para b=3,
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9},
válido para \operatorname{Re}(s)>0.]

Passo 5

Aplicando a propriedade do Passo 3 com a=1 (porque temos e^{t}=\!e^{1\cdot t}) e f(t)=\sin(3t), obtemos
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}(s)=\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s-1).
Substituindo s-1 na expressão de \mathcal{L}\{\sin(3t)\} do Passo 4:
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{(s-1)^{2}+9}.
Quanto à região de convergência: como originalmente \mathcal{L}\{\sin(3t)\} exige \operatorname{Re}(s)>0, após a substituição s\mapsto s-1 a condição torna-se \operatorname{Re}(s-1)>0, isto é \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 6

Resumo prático (para decorar e usar na prova): a propriedade de deslocamento em s é super útil — multiplicar por e^{at} no tempo corresponde a substituir s por s-a na transformada. Aqui com a=1 e \sin(3t) deu a resposta direta acima. Você pode conferir derivando a partir da definição se quiser, mas esse método por propriedades é rápido e seguro.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{(s-1)^{2}+9},\;\operatorname{Re}(s)>1

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