Usando o método da variação de parâmetros, resolva a equação diferencial
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea (presumo que a notação tenha um pequeno deslize e que a equação correta seja)
Informações dadas e o que é pedido:
- Equação:
.\n - Termo não-homogêneo:
— isso só está definido para , então a solução particular que encontrarmos terá sentido em .\n - Objetivo: encontrar a solução geral
, usando o método da variação de parâmetros, onde é solução da associada homogênea e é uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Explicação da técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
Calcule as raízes: essa é uma quadrática completa, pois
logo a raiz é dupla
(multiplicidade 2). Para raiz dupla a base de soluções da homogênea é
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Preparar o método da variação de parâmetros. Ideia: substituir as constantes
por funções
e procurar
Para fixar
e
impomos a condição auxiliar padrão (isso simplifica os cálculos e garante unicidade das funções):
Além disso, ao derivar
e substituir na equação original, obtemos a segunda condição
onde RHS é o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente do maior derivada (aqui é
), então RHS
.
Passo 4
Escrever explicitamente as duas equações para
e
. Primeiro calcule
e
:
A condição auxiliar dá
A segunda condição (substituindo derivadas) dá
Como
para todo
, podemos dividir ambas equações por
e obter o sistema mais simples:
Passo 5
Resolver o sistema para
e
. Somando as duas equações:
Portanto
Substituindo na primeira equação
, obtemos
Passo 6
Integrar para obter
e
. Primeiramente
Fórmula e técnica: integração por partes. Tome
e
(uma forma simples), mais convenientes é usar
com
, mas o resultado conhecido é
Em variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (elas seriam absorvidas por
da homogênea), então tomamos
Agora integrar
:
Fazer por partes: seja
e
. Então
e
. Assim
Com sinal negativo e escolhendo a constante zero,
Passo 7
Construir a solução particular
. Lembre que
Substituir
e
:
Somando,
Agrupando termos semelhantes (combine os coeficientes de
e de
):
Logo
Passo 8
Escrever a solução geral somando homogênea e particular. Portanto a solução geral é
Podemos fatorar
para ficar mais compacto:
Lembrete final: como aparece
, essa expressão é válida para
(domínio do termo não-homogêneo).