Usando o método da variação de parâmetros, resolva a equação diferencial y^{\prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t} \ln t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea (presumo que a notação tenha um pequeno deslize e que a equação correta seja)
y''+2y'+y = e^{-t}\ln t.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Equação: \;y''+2y'+y = e^{-t}\ln t.\n
  • Termo não-homogêneo: \;e^{-t}\ln t — isso só está definido para t>0, então a solução particular que encontrarmos terá sentido em t>0.\n
  • Objetivo: encontrar a solução geral \;y(t)=y_h(t)+y_p(t), usando o método da variação de parâmetros, onde y_h é solução da associada homogênea e y_p é uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''+2y'+y=0.
Explicação da técnica: para equações lineares com coeficientes constantes procuramos soluções da forma \;y=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+2r+1=0.
Calcule as raízes: essa é uma quadrática completa, pois
r^{2}+2r+1=(r+1)^{2},
logo a raiz é dupla \;r=-1 (multiplicidade 2). Para raiz dupla a base de soluções da homogênea é
y_{1}(t)=e^{-t},\qquad y_{2}(t)=t e^{-t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}t e^{-t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Preparar o método da variação de parâmetros. Ideia: substituir as constantes C_{1},C_{2} por funções u_{1}(t),u_{2}(t) e procurar
y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)=u_{1}(t)e^{-t}+u_{2}(t)t e^{-t}.
Para fixar u_{1} e u_{2} impomos a condição auxiliar padrão (isso simplifica os cálculos e garante unicidade das funções):
u_{1}'(t)y_{1}(t)+u_{2}'(t)y_{2}(t)=0.
Além disso, ao derivar y_p e substituir na equação original, obtemos a segunda condição
u_{1}'(t)y_{1}'(t)+u_{2}'(t)y_{2}'(t)=\text{RHS},
onde RHS é o termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente do maior derivada (aqui é 1), então RHS =e^{-t}\ln t.

Passo 4

Escrever explicitamente as duas equações para u_{1}' e u_{2}'. Primeiro calcule y_{1}' e y_{2}':
y_{1}(t)=e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(t)=-e^{-t},
y_{2}(t)=t e^{-t}\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(t)=e^{-t}-t e^{-t}=e^{-t}(1-t).
A condição auxiliar dá
u_{1}'(t)e^{-t}+u_{2}'(t)t e^{-t}=0.
A segunda condição (substituindo derivadas) dá
u_{1}'(t)(-e^{-t})+u_{2}'(t)e^{-t}(1-t)=e^{-t}\ln t.
Como e^{-t}\neq0 para todo t, podemos dividir ambas equações por e^{-t} e obter o sistema mais simples:
\begin{cases} u_{1}'+t\,u_{2}'=0,\\[4pt] -\,u_{1}'+(1-t)\,u_{2}'=\ln t. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema para u_{1}' e u_{2}'. Somando as duas equações:
(u_{1}'-u_{1}') + (t+(1-t))u_{2}' = 0 + \ln t \quad\Rightarrow\quad 1\cdot u_{2}'=\ln t.
Portanto
u_{2}'(t)=\ln t.
Substituindo na primeira equação u_{1}'+t u_{2}'=0, obtemos
u_{1}'(t) = -t\,u_{2}'(t) = -t\ln t.

Passo 6

Integrar para obter u_{1} e u_{2}. Primeiramente
u_{2}(t)=\int \ln t\,dt.
Fórmula e técnica: integração por partes. Tome \;v=\ln t e \;dw=dt (uma forma simples), mais convenientes é usar u=\ln t,\\ dv=dt com v=t, mas o resultado conhecido é
\int \ln t\,dt = t\ln t - t + C.
Em variação de parâmetros podemos escolher as constantes de integração iguais a zero (elas seriam absorvidas por C_{1},C_{2} da homogênea), então tomamos
u_{2}(t)=t\ln t - t.
Agora integrar u_{1}'(t)=-t\ln t:
u_{1}(t)=\int -t\ln t\,dt.
Fazer por partes: seja a=\ln t e db=t\,dt. Então da=\dfrac{1}{t}dt e b=\dfrac{t^{2}}{2}. Assim
\int t\ln t\,dt = \frac{t^{2}}{2}\ln t - \int \frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{1}{t}\,dt = \frac{t^{2}}{2}\ln t - \int \frac{t}{2}\,dt = \frac{t^{2}}{2}\ln t - \frac{t^{2}}{4} + C.
Com sinal negativo e escolhendo a constante zero,
u_{1}(t) = -\frac{t^{2}}{2}\ln t + \frac{t^{2}}{4}.

Passo 7

Construir a solução particular y_{p}. Lembre que
y_{p}(t)=u_{1}(t)e^{-t}+u_{2}(t)\,t e^{-t}.
Substituir u_{1} e u_{2}:
u_{1}(t)e^{-t} = \Big(-\frac{t^{2}}{2}\ln t + \frac{t^{2}}{4}\Big)e^{-t},
u_{2}(t)\,t e^{-t} = \big(t\ln t - t\big)\,t e^{-t} = \big(t^{2}\ln t - t^{2}\big)e^{-t}.
Somando,
y_{p}(t)=e^{-t}\Big(-\frac{t^{2}}{2}\ln t + \frac{t^{2}}{4} + t^{2}\ln t - t^{2}\Big).
Agrupando termos semelhantes (combine os coeficientes de t^{2}\ln t e de t^{2}):
-\frac{1}{2}t^{2}\ln t + 1\cdot t^{2}\ln t = \frac{1}{2}t^{2}\ln t,
\frac{t^{2}}{4}-t^{2} = -\frac{3}{4}t^{2}.
Logo
y_{p}(t)=e^{-t}\Big(\frac{1}{2}t^{2}\ln t - \frac{3}{4}t^{2}\Big).

Passo 8

Escrever a solução geral somando homogênea e particular. Portanto a solução geral é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}t e^{-t}+e^{-t}\Big(\frac{1}{2}t^{2}\ln t - \frac{3}{4}t^{2}\Big).
Podemos fatorar e^{-t} para ficar mais compacto:
y(t)=e^{-t}\Big(C_{1}+C_{2}t+\frac{1}{2}t^{2}\ln t - \frac{3}{4}t^{2}\Big).
Lembrete final: como aparece \ln t, essa expressão é válida para t>0 (domínio do termo não-homogêneo).

Resposta

y(t)=e^{-t}\Big(C_{1}+C_{2}t+\frac{1}{2}t^{2}\ln t-\frac{3}{4}t^{2}\Big)

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