onde s é uma variável complexa (na prática aqui usamos s real) e a integral só converge quando o fator exponencial e^{-s t} domina o comportamento de g(t) no infinito. Vou aplicar essa definição termo a termo em f(t)=e^{2t+1}+t, porque a transformada é linear:
Agora analisar o termo de fronteira \left. -\dfrac{t}{s} e^{-s t} \right|_{0}^{\infty}. Para s>0 vale que e^{-s t} decai exponencialmente muito mais rápido que t cresce polinomialmente, então
\lim_{t\to\infty} t e^{-s t}=0 \quad\text{(para \(s>0\))},
e no t=0 esse termo é zero também. Portanto o termo de fronteira é zero quando s>0. Resta a integral: