Usando a definição da transformada de Laplace, determine mathcal{L}{f(t)}} em que:
f(t)=e^{2 t+1}+t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t) usando a definição. A função dada é
f(t)=e^{2 t+1}+t.
As perguntas claras são:
  • Calcular \mathcal{L}\{f(t)\} usando a definição da transformada de Laplace.
  • Identificar a região de convergência (valores de s para os quais a transformada existe).
Informações relevantes dadas:
  • f(t) é a soma de duas parcelas: uma exponencial e^{2t+1} e um polinômio de grau 1, t.
  • A transformada de Laplace será calculada pela integral impropria a partir de t=0 até t\to\infty.

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace (vou explicar bem devagar): para uma função g(t) definida em t\ge0, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} g(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática aqui usamos s real) e a integral só converge quando o fator exponencial e^{-s t} domina o comportamento de g(t) no infinito. Vou aplicar essa definição termo a termo em f(t)=e^{2t+1}+t, porque a transformada é linear:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{2t+1}\}(s)+\mathcal{L}\{t\}(s).

Passo 3

Calcular \mathcal{L}\{e^{2t+1}\}.
Primeiro note que e^{2t+1}=e^{1}\,e^{2t}=e\,e^{2t}. Como e é constante, posso tirar fora da integral. Usando a definição:
\mathcal{L}\{e^{2t+1}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{1} e^{2t} e^{-s t}\,dt = e \int_{0}^{\infty} e^{-(s-2)t}\,dt.
Agora uso a fórmula básica de integral exponencial: para \alpha>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha t}\,dt=\frac{1}{\alpha}.
Aqui \alpha=s-2. Portanto a integral converge se e somente se s-2>0, isto é, s>2. Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-2)t}\,dt=\frac{1}{s-2}\quad\text{(para \(s>2\))}.
Logo
\mathcal{L}\{e^{2t+1}\}(s)=\frac{e}{s-2}\qquad (s>2).

Passo 4

Calcular \mathcal{L}\{t\} pela definição, passo a passo.
Temos
\mathcal{L}\{t\}(s)=\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt.
Essa integral é clássica e pode ser feita por integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes: se u=u(t) e dv=dv(t) então
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolho u=t (assim du=dt) e dv=e^{-s t}dt (assim v=\int e^{-s t}dt=-\frac{1}{s}e^{-s t}, válido para s\neq0). Aplicando:
\int_{0}^{\infty} t\,e^{-s t}\,dt = \left. -\frac{t}{s} e^{-s t} \right|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-s t}\,dt.
Agora analisar o termo de fronteira \left. -\dfrac{t}{s} e^{-s t} \right|_{0}^{\infty}. Para s>0 vale que e^{-s t} decai exponencialmente muito mais rápido que t cresce polinomialmente, então
\lim_{t\to\infty} t e^{-s t}=0 \quad\text{(para \(s>0\))},
e no t=0 esse termo é zero também. Portanto o termo de fronteira é zero quando s>0. Resta a integral:
\int_{0}^{\infty} \frac{1}{s} e^{-s t}\,dt=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}\quad\text{(para \(s>0\))},
usando novamente \int_{0}^{\infty} e^{-s t}dt=1/s. Assim
\mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}\qquad (s>0).

Passo 5

Juntar os resultados e determinar a região de convergência.
Somando as duas transformadas obtidas:
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{2t+1}\}(s)+\mathcal{L}\{t\}(s) =\frac{e}{s-2}+\frac{1}{s^{2}}.
Sobre a região de convergência: a primeira parcela exige s>2, a segunda exige s>0; a transformada total existe na interseção, ou seja para s>2.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{e}{s-2}+\frac{1}{s^{2}},\quad s>2

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