Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções aplicando a definição e/ou as propriedades. Considere \boldsymbol{t} a variável e \boldsymbol{a} e \boldsymbol{w} constantes.
(e) \boldsymbol{e}^{-\mathbf{2 t}} \boldsymbol{\operatorname { c o s }} \boldsymbol{t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{-2t}\cos t
O conteúdo principal é o uso da propriedade de deslocamento no domínio s, que diz que
\mathcal{L}\{e^{a t}g(t)\}(s)=G(s-a),
onde G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s).

Passo 2

Primeiro encontramos a transformada de Laplace de \cos t. Pela definição
\mathcal{L}\{\cos t\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\cos t\,dt
sabemos do resultado padrão que
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento com a=-2, pois f(t)=e^{-2t}\cos t = e^{a t}\cos t. Logo
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos t\}(s) =\Bigl[\mathcal{L}\{\cos t\}(s-a)\Bigr]_{a=-2} =\frac{s-(-2)}{(s-(-2))^{2}+1} =\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos t\}(s) =\frac{s+2}{(s+2)^{2}+1}.

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