Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=3 e^{2 t}-2 e^{-3 t}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função
f(t)=3e^{2t}-2e^{-3t}
e queremos calcular sua transformada de Laplace. Vamos usar a definição \displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e a propriedade de linearidade, além da fórmula para exponenciais \displaystyle \mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) =\mathcal{L}\{3e^{2t}\}(s)\;-\;\mathcal{L}\{2e^{-3t}\}(s).

Passo 3

Para o primeiro termo, a constante sai da transformada e usamos \mathcal{L}\{e^{2t}\}(s)=1/(s-2), portanto
\mathcal{L}\{3e^{2t}\}(s) =3\;\frac{1}{s-2} =\frac{3}{s-2},
válido para \Re(s)>2.

Passo 4

Para o segundo termo, temos \mathcal{L}\{e^{-3t}\}(s)=1/(s+3), logo
\mathcal{L}\{2e^{-3t}\}(s) =2\;\frac{1}{s+3} =\frac{2}{s+3}.
Como o sinal em f(t) era negativo, esse termo contribui com -2/(s+3), válido para \Re(s)>-3.

Passo 5

Juntando os dois resultados, a transformada de Laplace de f(t) é
F(s)=\frac{3}{s-2}-\frac{2}{s+3},
com região de convergência determinada pela condição mais restritiva, que é \Re(s)>2.

Resposta

\mathcal{L}\{3e^{2t}-2e^{-3t}\}(s) =\frac{3}{s-2}-\frac{2}{s+3}.

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