Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=e^{5 t-6}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=e^{5t-6}.
Este é um problema de transformada de Laplace de funções exponenciais. Vamos usar a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt
e as propriedades de linearidade e de deslocamento.

Passo 2

Reescrevemos f(t) como produto de constantes e exponenciais em t:
f(t)=e^{5t-6}=e^{-6}\,e^{5t}.
Aqui e^{-6} é uma constante em relação a t.

Passo 3

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos
\mathcal{L}\{f(t)\} = e^{-6}\,\mathcal{L}\{e^{5t}\} = e^{-6}\int_{0}^{\infty}e^{5t}e^{-st}\,dt = e^{-6}\int_{0}^{\infty}e^{-(s-5)t}\,dt.

Passo 4

Para \Re(s)>5, a integral de \int_{0}^{\infty}e^{-(s-5)t}\,dt converge e vale
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-5)t}\,dt =\biggl[\frac{e^{-(s-5)t}}{-(s-5)}\biggr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s-5}.

Passo 5

Portanto
\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = e^{-6}\,\frac{1}{s-5} =\frac{e^{-6}}{s-5},
válido para \Re(s)>5.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{5t-6}\}(s)=\frac{e^{-6}}{s-5},\quad \Re(s)>5.

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