Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=t^{2} e^{-4 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{2}e^{-4t}.
O conteúdo aqui é definição de transformada de Laplace e uso da integral padrão \displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-at}\,dt=\frac{n!}{a^{n+1}}.

Passo 2

Pela definição de Laplace,
\mathcal{L}\{t^{2}e^{-4t}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-4t}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s+4)t}\,dt.

Passo 3

Reconhecemos a forma \displaystyle\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-at}\,dt=\frac{n!}{a^{n+1}}.
Aqui n=2 e a=s+4. Portanto,
\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-(s+4)t}\,dt =\frac{2!}{(s+4)^{3}} =\frac{2}{(s+4)^{3}}.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{2}e^{-4t}\}(s) =\frac{2}{(s+4)^{3}}, \quad\text{para Re}(s)>-4.

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