Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=e^{t} \sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=e^{t}\sin(2t). Aqui vamos usar duas coisas: a fórmula básica da transformada de \sin(bt) e o teorema do deslocamento em s, que trata o fator e^{at}.

Passo 2

A fórmula básica é
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}(s)=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}
no nosso caso b=2, então
\mathcal{L}\{\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{s^{2}+4}.

Passo 3

Pelo teorema do deslocamento em s, se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}(s) então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
Aqui a=1 e g(t)=\sin(2t), logo basta substituir s\to s-1 em \tfrac{2}{s^{2}+4}:
\mathcal{L}\{e^{t}\sin(2t)\}(s) =\frac{2}{(s-1)^{2}+4}.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{t}\sin(2t)\}(s)=\frac{2}{(s-1)^{2}+4}.

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