Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=\left(e^{t}-e^{-t}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2}.
O conteúdo aqui é uso da linearidade da transformada e da tabela básica: \mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a} e \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 2

Expandimos o quadrado:
\bigl(e^{t}-e^{-t}\bigr)^{2} =e^{2t}-2\,e^{t}e^{-t}+e^{-2t} =e^{2t}-2+e^{-2t}.

Passo 3

Pela linearidade,
\mathcal{L}\{f(t)\} =\mathcal{L}\{e^{2t}\}-2\,\mathcal{L}\{1\}+\mathcal{L}\{e^{-2t}\}.
Usando a tabela:
\mathcal{L}\{e^{2t}\}=\frac{1}{s-2},\quad \mathcal{L}\{e^{-2t}\}=\frac{1}{s+2},\quad \mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}.

Passo 4

Substituindo:
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{s-2}-2\cdot\frac{1}{s}+\frac{1}{s+2}.

Passo 5

Para simplificar, primeiro somamos as duas frações com denominação s^2-4:
\frac{1}{s-2}+\frac{1}{s+2} =\frac{(s+2)+(s-2)}{s^2-4} =\frac{2s}{s^2-4}.
Então
\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2s}{s^2-4}-\frac{2}{s} =\frac{2s\cdot s-2(s^2-4)}{s(s^2-4)} =\frac{8}{s\,(s^2-4)}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{(e^{t}-e^{-t})^{2}\} =\frac{8}{s\,(s^{2}-4)},\quad \Re(s)>2.}

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