Calcule as transformadas de Laplace das seguintes funções
f(t)=\cos (3 t) e^{5 t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função \,f(t)=\cos(3t)\,e^{5t}.
O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace e a propriedade de deslocamento no domínio s.

Passo 2

Pela definição, a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 3

Usamos a propriedade de deslocamento: se g(t) tem transformada G(s), então
\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s - a).

Passo 4

Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+3^{2}}=\frac{s}{s^{2}+9}.
Aplicando o deslocamento com a=5, obtemos
\mathcal{L}\{e^{5t}\cos(3t)\}(s) =\frac{s-5}{(s-5)^{2}+9}.

Passo 5

A região de convergência dessa transformada é \Re(s)>5, garantindo a convergência do integral original.

Resposta

\mathcal{L}\{\cos(3t)\,e^{5t}\}(s) =\frac{s-5}{(s-5)^{2}+9},\quad \Re(s)>5.

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