Encontre uma solução explicita para o problema de valor inicial dado.
e^{y} d x-e^{-x} d y=0, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{y}\,dx - e^{-x}\,dy = 0
com condição inicial y(0)=0.
Esse é um problema de equação diferencial ordinária de primeira ordem e com variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevemos a equação para separar x e y. De
e^{y}\,dx = e^{-x}\,dy
segue
e^{-y}\,dy = e^{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{-y}\,dy = \int e^{x}\,dx
o que dá
-\,e^{-y} = e^{x} + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo x=0 e y=0 em
-\,e^{-y} = e^{x} + C
obtemos
-\,e^{0} = e^{0} + C \quad\Longrightarrow\quad -1 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -2.

Passo 5

Substituindo C=-2 de volta em
-\,e^{-y} = e^{x} - 2
temos
e^{-y} = 2 - e^{x} \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(2 - e^{x}\bigr).
Para que 2 - e^{x}>0, é necessário x<\ln 2.

Resposta

A solução explícita que satisfaz y(0)=0 é
y(x) = -\ln\bigl(2 - e^{x}\bigr),
válida para x<\ln 2.

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