Encontre uma solução explicita para o problema de valor inicial dado.
\operatorname{Sen}(x) d x+y d y=0, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede resolver explicitamente o PVI
\sin(x)\,dx + y\,dy = 0,
com y(0)=1. Trata-se de uma EDO de variável separável.

Passo 2

Reescrevemos agrupando termos em y e x:
y\,dy = -\sin(x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y^2}{2} = \cos(x) + C.

Passo 4

Usamos y(0)=1 para achar C. Em x=0 e y=1 temos
\frac{1^2}{2} = \cos(0) + C \quad\Longrightarrow\quad \frac12 = 1 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac12.

Passo 5

Substituindo C, obtemos
\frac{y^2}{2} = \cos(x) - \frac12 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 2\cos(x) - 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm\sqrt{2\cos(x)-1}.
Pelo PVI, y(0)=1>0, então escolhemos o sinal positivo:
y(x) = \sqrt{2\cos(x)-1}.

Passo 6

Para que a raiz seja real, precisamos de 2\cos(x)-1 \ge 0, isto é \cos(x)\ge\frac12, logo
x\in\bigl[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr]
em torno de 0.

Resposta

y(x) = \sqrt{2\cos(x)-1},\quad x\in\bigl[-\tfrac{\pi}{3},\tfrac{\pi}{3}\bigr].

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