O vetor tangente à curva \gamma(t)=\left(\frac{1}{t-1}, e^{t}, \ln (t+1)\right) no ponto t=0 é o vetor
a. (1,1,1)
b. (-1,1,1)
c. (-1,1,-1)
d. (-1,0,1)
e. (-1,1,0)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\gamma(t)=\bigl(\tfrac{1}{t-1},\,e^{t},\,\ln(t+1)\bigr)
e pede o vetor tangente em t=0. Em geometria de curvas, o vetor tangente em t é a derivada \gamma'(t), então precisamos diferenciar cada componente de \gamma(t) e depois avaliar em t=0.

Passo 2

Aplicando as regras de derivação (regra da cadeia, exponencial e logaritmo), obtemos
\gamma'(t) =\Bigl(\frac{d}{dt}\tfrac{1}{t-1},\;\frac{d}{dt}e^{t},\;\frac{d}{dt}\ln(t+1)\Bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{(t-1)^{2}},\;e^{t},\;\tfrac{1}{t+1}\Bigr).

Passo 3

Agora basta avaliar em t=0:
\gamma'(0) =\Bigl(-\tfrac{1}{(-1)^{2}},\;e^{0},\;\tfrac{1}{1}\Bigr) =(-1,\;1,\;1).
Esse resultado coincide com a alternativa (b).

Resposta

(b)

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