Qual o valor do limite da curva \gamma(t)=\left(\frac{1}{t-1}, e^{t}, \ln (t+1)\right) quando t tende a zero.
a. ( -1,1,0 )
b. (-1,0,0)
c. (1,1,0)
d. (-1,1,1)
e. (1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede o limite da curva
\gamma(t)=\bigl(\tfrac{1}{t-1},\,e^{t},\,\ln(t+1)\bigr)
quando t\to0. O conteúdo aqui é cálculo de limite de funções componentes usando continuidade de funções elementares.

Passo 2

Para a primeira componente, usamos que a função racional f(t)=\tfrac{1}{t-1} é contínua em t=0. Logo,
\lim_{t\to0}\frac{1}{t-1} = \frac{1}{0-1} = -1.

Passo 3

Para a segunda componente, g(t)=e^{t} é contínua em t=0, então
\lim_{t\to0}e^{t} = e^{0} = 1.
Para a terceira componente, h(t)=\ln(t+1) é contínua em t=0 (pois t+1>0 próximo de zero), logo
\lim_{t\to0}\ln(t+1) = \ln(1) = 0.

Passo 4

Juntando os três resultados, o limite de \gamma(t) é
\bigl(-1,\,1,\,0\bigr).
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) (-1,1,0)

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