Calcule os três ângulos internos do triângulo cujos vértices são A(3,1), B(5,-2) e C(6,3), utilizando a relação
\cos \theta=\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|},
onde \vec{u} e \vec{v} são os vetores que formam o ângulo \theta.

Passo 1

Temos o triângulo com vértices em A(3,1), B(5,-2) e C(6,3). O objetivo é calcular os ângulos internos usando a relação do cosseno para vetores:
\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{|\vec u|\,|\vec v|},
onde \vec u e \vec v são os vetores que formam o ângulo \theta.

Passo 2

Em cada vértice escolhemos os dois vetores que se encontram ali:
  • No vértice A: \vec{AB} e \vec{AC}.
  • No vértice B: \vec{BA} e \vec{BC}.
  • No vértice C: \vec{CA} e \vec{CB}.

Passo 3

Calculamos componentes e módulos:
\vec{AB} = (5-3,\,-2-1) = (2,-3),\quad \vec{AC} = (6-3,\,3-1) = (3,2),
\vec{BA} = (-2,3),\quad \vec{BC} = (1,5),\quad \vec{CA} = (-3,-2),\quad \vec{CB} = (-1,-5).
|\vec{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13},\quad |\vec{AC}| = \sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13},
|\vec{BC}| = \sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26},\quad |\vec{BA}|=|\vec{AB}|,\quad|\vec{CA}|=|\vec{AC}|,\quad|\vec{CB}|=|\vec{BC}|.

Passo 4

Aplicamos o produto escalar e a fórmula do cosseno:
No vértice A:
\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 2\cdot3 + (-3)\cdot2 = 6 - 6 = 0,
\cos\angle A = \frac{0}{\sqrt{13}\,\sqrt{13}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \angle A = \operatorname{arccos}(0) = 90^\circ.
No vértice B:
\vec{BA}\cdot\vec{BC} = (-2)\cdot1 + 3\cdot5 = -2 + 15 = 13,
\cos\angle B = \frac{13}{\sqrt{13}\,\sqrt{26}} = \frac{13}{\sqrt{338}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \angle B = \operatorname{arccos}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr) = 45^\circ.
No vértice C:
\vec{CA}\cdot\vec{CB} = (-3)\cdot(-1) + (-2)\cdot(-5) = 3 + 10 = 13,
\cos\angle C = \frac{13}{\sqrt{13}\,\sqrt{26}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \quad\Longrightarrow\quad \angle C = 45^\circ.

Resposta

\angle A = 90^\circ,\quad \angle B = 45^\circ,\quad \angle C = 45^\circ.

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