Calcule, por triangularização, os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrrr}2 & -3 & 1 & 7 \\\\ -2 & 3 & 0 & 4 \\\\ -1 & 5 & 4 & -3 \\\\ 2 & 4 & -5 & 0\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 \\\\ -2 & 3 & 0 & 4 \\\\ -1 & 5 & 4 & -3 \\\\ 2 & 4 & -5 & 0 \end{pmatrix}
usando triangularização. Vamos usar operações elementares de linhas: trocar linhas (inverte o sinal do determinante) e adicionar múltiplos de uma linha a outra (não altera o determinante) até obter uma matriz triangular superior. O determinante será o produto dos elementos da diagonal principal, ajustado pelo sinal de trocas de linhas.

Passo 2

Eliminamos abaixo de a_{11}=2. Aplicamos as operações
R_2 \leftarrow R_2 + R_1,
R_3 \leftarrow R_3 + \tfrac12\,R_1,
R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
Como são somas de múltiplos de outra linha, o determinante não se altera. A matriz fica
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 \\\\ 0 & 0 & 1 & 11 \\\\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 7 & -6 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 3

O pivô da segunda coluna em R_2 é zero, então trocamos R_2 e R_3. Isso inverte o sinal do determinante. A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 \\\\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & 1 & 11 \\\\ 0 & 7 & -6 & -7 \end{pmatrix},
e guardamos um fator -1 para o determinante.

Passo 4

Eliminamos abaixo de \tfrac{7}{2} em posição (4,2):
R_4 \leftarrow R_4 - 2\,R_2.
Essa operação não altera o determinante. Obtemos
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 \\\\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & 1 & 11 \\\\ 0 & 0 & -15 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 5

Eliminamos abaixo de 1 em (4,3):
R_4 \leftarrow R_4 + 15\,R_3.
Novamente sem alterar o determinante. A matriz fica triangular superior:
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 7 \\\\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{9}{2} & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 0 & 1 & 11 \\\\ 0 & 0 & 0 & 157 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora o determinante é o produto dos pivôs vezes o fator de troca de linhas:
\det(A) = -1 \times 2 \times \frac{7}{2} \times 1 \times 157 = - (2 \cdot \tfrac{7}{2} \cdot 157) = - (7 \cdot 157) = -1099.

Resposta

-1099

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