Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 \mathrm{e} \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det}(-A)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A,B\in M_{n}(\mathbb{R}) com \det(A)=4 e \det(B)=5, e pede \det(-A). O conteúdo a usar é a propriedade do determinante sob multiplicação de uma matriz por escalar.

Passo 2

Recordamos a propriedade: para qualquer matriz A de ordem n e escalar c,
\det(cA)=c^{n}\det(A).

Passo 3

Aplicando c=-1 e usando \det(A)=4, obtemos
\det(-A)=(-1)^{n}\det(A)=(-1)^{n}\cdot 4.

Passo 4

Para explicitar conforme a paridade de n:
– Se n for par, então (-1)^{n}=1 e \det(-A)=4.
– Se n for ímpar, então (-1)^{n}=-1 e \det(-A)=-4.

Resposta

\det(-A)=(-1)^{n}\cdot 4.

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