Sejam A, B \in M_{n}(\mathbb{R}) tais que \operatorname{det} A=4 \mathrm{e} \operatorname{det} B=5. Determine:
\operatorname{det}(A B)^{-1}

Passo 1

O enunciado nos diz que A,B\in M_{n}(\mathbb{R}) com \det A=4 e \det B=5, e pede \det\bigl((AB)^{-1}\bigr). O conteúdo usado será a multiplicatividade do determinante e a relação entre inversa e determinante.

Passo 2

Pela propriedade da multiplicatividade do determinante, temos
\det(AB)=\det(A)\,\det(B)=4\cdot5=20.

Passo 3

Para qualquer matriz invertível M, vale
\det(M^{-1})=\bigl(\det(M)\bigr)^{-1}.
Aplicando a M=AB, conclui-se que
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\bigl(\det(AB)\bigr)^{-1}.

Passo 4

Substituindo \det(AB)=20 na expressão, obtemos
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=20^{-1}=\frac{1}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}

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