Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar uma identidade vetorial que envolve produtos vetoriais (cruz) e produtos escalares (ponto). A matéria aqui é Álgebra Vetorial. Vamos precisar usar algumas propriedades básicas dos produtos vetorial e escalar para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto vetorial. Se temos dois vetores,
e
, o produto vetorial
resulta em um vetor que é perpendicular a ambos e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado por
e
.
Passo 3
Agora, o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por
, onde
é o ângulo entre eles. Isso nos dá um número real.
Passo 4
A identidade que precisamos provar é:
Vamos demonstrar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, aplicamos a propriedade do produto escalar distribuído sobre o produto vetorial. Sabemos que:
Onde
representa o determinante formado pelos três vetores.
Passo 6
Usando a propriedade distributiva do determinante, podemos expandir o lado esquerdo da nossa identidade:
Isso resulta em:
Que é exatamente o lado direito da nossa identidade.
Resposta
Portanto, demonstramos que:
A identidade está comprovada!