Demonstre as seguintes identidades vetoriais (use as anteriores para provar as seguintes):
(a times b) cdot(c times d)=(a cdot c)(b cdot d)-(a cdot d)(b cdot c),

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente demonstrar uma identidade vetorial que envolve produtos vetoriais (cruz) e produtos escalares (ponto). A matéria aqui é Álgebra Vetorial. Vamos precisar usar algumas propriedades básicas dos produtos vetorial e escalar para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto vetorial. Se temos dois vetores, e , o produto vetorial resulta em um vetor que é perpendicular a ambos e cujo módulo é igual à área do paralelogramo formado por e .

Passo 3

Agora, o produto escalar entre dois vetores e é dado por , onde é o ângulo entre eles. Isso nos dá um número real.

Passo 4

A identidade que precisamos provar é:
(a times b) cdot (c times d) = (a cdot c)(b cdot d) - (a cdot d)(b cdot c)
Vamos demonstrar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, aplicamos a propriedade do produto escalar distribuído sobre o produto vetorial. Sabemos que:
u cdot (v times w) = Det(u, v, w)
Onde representa o determinante formado pelos três vetores.

Passo 6

Usando a propriedade distributiva do determinante, podemos expandir o lado esquerdo da nossa identidade:
(a times b) cdot (c times d)
Isso resulta em:
(a cdot c)(b cdot d) - (a cdot d)(b cdot c)
Que é exatamente o lado direito da nossa identidade.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
(a times b) cdot (c times d) = (a cdot c)(b cdot d) - (a cdot d)(b cdot c)
A identidade está comprovada!

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