Calcule usando a definição de integral de linha integralgamma x y^2 d x+x^2 y d y, onde gamma consiste no gráfico da função f(t)=t^2 com 0 <= t <= 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da forma diferencial
integralgamma x y^2,dx + x^2y,dy
onde gamma é o gráfico da função f(t)=t^2 no intervalo 0<= t<=2. Vamos usar a parametrização do gráfico para transformar a integral de linha numa integral em t.

Passo 2

Parametrizamos gamma por
x(t)=t, y(t)=t^2, 0<= t<=2
Em seguida, calculamos as derivadas
dxdt=1, dydt=2t

Passo 3

Substituímos na forma diferencial. Em cada ponto da curva temos
P(x,y)=x,y^2=t,(t^2)^2=t^5,
Q(x,y)=x^2,y=t^2,(t^2)=t^4
Logo o integrando é
P,dxdt+Q,dydt = t^5cdot1 + t^4cdot(2t) = t^5 + 2t^5 = 3t^5

Passo 4

Convertendo a integral de linha numa integral em t, obtemos
integral0^23t^5,dt =3integral0^2t^5,dt =3[t^66]0^2 =36(2^6-0) =12cdot64 =32

Resposta

O valor da integral de linha é 32.

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