Inverta a ordem de integração e calcule integral0^1 integral0^y sen(x^2) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla que é integral0^1 integral0^y sin(x^2) , dx , dy. Para fazer isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e aplicar um pouco de cálculo integral. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original está definida para x variando de 0 a y e y variando de 0 a 1. Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no plano xy, onde 0 <= x <= y <= 1.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que y varie primeiro e depois x. Observando a região, para cada valor de x entre 0 e 1, y varia de x a 1. Assim, a integral invertida fica:
integral0^1 integralx^1 sin(x^2) , dy , dx

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a y. Note que sin(x^2) não depende de y, então podemos tratar como uma constante durante a integração em relação a y:
integralx^1 sin(x^2) , dy = sin(x^2) cdot (1 - x)

Passo 5

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
integral0^1 sin(x^2) cdot (1 - x) , dx

Passo 6

Vamos distribuir a função dentro da integral:
integral0^1 sin(x^2) , dx - integral0^1 x sin(x^2) , dx
A primeira integral, integral sin(x^2) , dx, não possui uma antiderivada em termos de funções elementares e é relacionada à função de Fresnel. A segunda integral pode ser resolvida por substituição.

Passo 7

Para resolver integral0^1 x sin(x^2) , dx, fazemos a seguinte substituição:
Seja u = x^2, então du = 2x , dx ou x , dx = du2.
Então,
integral x sin(x^2) , dx = 12 integral sin(u) , du = -12 cos(u) + C = -12 cos(x^2) + C

Passo 8

Aplicando os limites de 0 a 1 na integral resolvida:
-12 cos(1) + 12 cos(0) = -12 cos(1) + 12

Passo 9

Agora, voltando à nossa expressão original:
integral0^1 sin(x^2) , dx - (-12 cos(1) + 12) = integral0^1 sin(x^2) , dx + 12 cos(1) - 12

Passo 10

Como a integral integral0^1 sin(x^2) , dx não tem uma expressão em termos de funções elementares, podemos deixar a resposta final em termos dessa integral ou aproximá-la numericamente se necessário.

Resposta

A integral invertida e resolvida fica:
integral0^1 integral0^y sin(x^2) , dx , dy = integral0^1 (1 - x) sin(x^2) , dx = integral0^1 sin(x^2) , dx + 12 cos(1) - 12

Exercícios relacionados