Inverta a ordem de integração e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais duplas. O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla que é
. Para fazer isso, vamos precisar entender como mudar a ordem de integração e aplicar um pouco de cálculo integral. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. A integral original está definida para
variando de
a
e
variando de
a
. Isso significa que estamos integrando sobre uma região triangular no plano
, onde
.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos reescrever os limites de forma que
varie primeiro e depois
. Observando a região, para cada valor de
entre
e
,
varia de
a
. Assim, a integral invertida fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Note que
não depende de
, então podemos tratar como uma constante durante a integração em relação a
:
Passo 5
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, temos:
Passo 6
Vamos distribuir a função dentro da integral:
A primeira integral,
, não possui uma antiderivada em termos de funções elementares e é relacionada à função de Fresnel. A segunda integral pode ser resolvida por substituição.
Passo 7
Para resolver
, fazemos a seguinte substituição:
Seja
, então
ou
.
Então,
Passo 8
Aplicando os limites de
a
na integral resolvida:
Passo 9
Agora, voltando à nossa expressão original:
Passo 10
Como a integral
não tem uma expressão em termos de funções elementares, podemos deixar a resposta final em termos dessa integral ou aproximá-la numericamente se necessário.
Resposta
A integral invertida e resolvida fica: