Esboce o gráfico da função, especificando o domínio e a imagem:
f(x)=|x^2-5 x|+|x|^2-|5 x|

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=l|x^2-5xr|+|x|^2-|5x|
e nos solicita também o domínio e a imagem de f. O conteúdo principal aqui é manipulação de valores absolutos e montagem de função por partes.

Passo 2

Identificamos as quebras de sinal dos módulos:
– Em l|x^2-5xr| mudam o sinal em x=0 e em x=5 (pois x^2-5x=x(x-5)).
– Em |5x| muda o sinal em x=0.
Além disso, note que |x|^2=(|x|)^2=x^2 não gera nova quebra.

Passo 3

Para x<0:
– Temos x<0implies|5x|=-5x.
– Também x<0implies x(x-5)>0, logo l|x^2-5xr|=x^2-5x.
Substituindo em f:
f(x)=(x^2-5x)+x^2-(-5x)=2x^2

Passo 4

Para 0<= x<5:
– Agora x>=0implies|5x|=5x.
– E 0<= x<5implies x(x-5)<=0, logo l|x^2-5xr|=-(x^2-5x)=-x^2+5x.
Substituindo:
f(x)=(-x^2+5x)+x^2-5x=0

Passo 5

Para x>=5:
– Mantém-se |5x|=5x.
– E agora x>=5implies x(x-5)>=0, logo l|x^2-5xr|=x^2-5x.
Substituindo:
f(x)=(x^2-5x)+x^2-5x=2x^2-10x

Passo 6

Juntando, a função fica
f(x)= 2x^2, & x<0, 0, & 0<= x<5, 2x^2-10x, & x>=5
No gráfico isso dá:
– Uma parábola de concavidade para cima para x<0, com valor mínimo f(0^-)=0.
– Um segmento horizontal em f(x)=0 de x=0 até x=5.
– E outra parábola de concavidade para cima para x>=5, saindo de f(5)=0 e crescendo.

Passo 7

O domínio de f é todo xinR, pois não há restrição nos módulos. Observando que cada ramo de f é sempre >=0 e atinge 0 em todo intervalo [0,5], concluímos que a imagem de f é
[0,infty)

Resposta

Domínio: R.
Imagem: [0,infty).

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