Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-2 usando a definição de limite
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui o conteúdo é derivada de polinômio via definição, e vamos precisar expandir f(x+h), subtrair f(x), fatorar h e então tomar o limite.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada e substituímos f:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Calculamos primeiro f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^{3}-6(x+h)^{2}+9(x+h)-2.

Passo 4

Expandindo cada termo:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},
-6(x+h)^{2}=-6\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)=-6x^{2}-12xh-6h^{2},
9(x+h)=9x+9h.
Somando tudo e subtraindo f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x-2, obtemos
f(x+h)-f(x) =(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-6x^{2}-12xh-6h^{2}+9x+9h-2) -(x^{3}-6x^{2}+9x-2)
=3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-12xh-6h^{2}+9h =h\bigl(3x^{2}+3xh+h^{2}-12x-6h+9\bigr).

Passo 5

Dividindo por h e fazendo h\to0:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}-12x-6h+9 \quad\Longrightarrow\quad \lim_{h\to0}(\cdots)=3x^{2}-12x+9.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-12x+9.

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