Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{2 x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{2x^{2}-x}
usando a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Vamos expandir f(x+h), formar o quociente incremental e, em seguida, eliminar a raiz pela conjugada.

Passo 2

Calculemos primeiro f(x+h):
f(x+h)=\sqrt{2(x+h)^{2}-(x+h)} =\sqrt{2(x^{2}+2xh+h^{2})-x-h} =\sqrt{2x^{2}+4xh+2h^{2}-x-h}.
O incremento fica
f(x+h)-f(x) =\sqrt{2x^{2}+4xh+2h^{2}-x-h} -\sqrt{2x^{2}-x}.

Passo 3

Formamos o quociente \frac{f(x+h)-f(x)}{h} e multiplicamos numerador e denominador pela conjugada:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\sqrt{A}-\sqrt{B}}{h} \quad\text{com}\quad A=2x^{2}+4xh+2h^{2}-x-h,\; B=2x^{2}-x.
Multiplicando por \frac{\sqrt{A}+\sqrt{B}}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}, obtemos
\frac{\sqrt{A}-\sqrt{B}}{h} =\frac{A-B}{h\bigl(\sqrt{A}+\sqrt{B}\bigr)}.

Passo 4

Calculemos A-B:
A-B =(2x^{2}+4xh+2h^{2}-x-h)-(2x^{2}-x) =4xh+2h^{2}-h =h\,(4x+2h-1).
Logo
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{h\,(4x+2h-1)}{h\bigl(\sqrt{A}+\sqrt{B}\bigr)} =\frac{4x+2h-1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}.

Passo 5

Fazemos h\to0. Então A\to2x^{2}-x e \sqrt{A}+\sqrt{B}\to2\sqrt{2x^{2}-x}. Assim
f'(x) =\lim_{h\to0}\frac{4x+2h-1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} =\frac{4x-1}{2\sqrt{2x^{2}-x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{4x-1}{2\sqrt{2x^{2}-x}},
válido para x tal que 2x^{2}-x>0 (isto é, x<0 ou x>1/2).

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