Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x^{2}+4 x-6}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt{x^{2}+4x-6} usando a definição de limite. Vamos aplicar a definição de derivada
e, para lidar com a raiz quadrada, usar a racionalização da diferença de raízes.

Passo 2

Escrevemos a definição de derivada por diferença incremental:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{(x+h)^{2}+4(x+h)-6}-\sqrt{x^{2}+4x-6}}{h}.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado da diferença:
\frac{\sqrt{(x+h)^{2}+4(x+h)-6}-\sqrt{x^{2}+4x-6}}{h} \cdot \frac{\sqrt{(x+h)^{2}+4(x+h)-6}+\sqrt{x^{2}+4x-6}} {\sqrt{(x+h)^{2}+4(x+h)-6}+\sqrt{x^{2}+4x-6}}.

Passo 4

No numerador aparece
(x+h)^{2}+4(x+h)-6 \;-\;\bigl(x^{2}+4x-6\bigr) =2xh+h^{2}+4h =h\,(2x+h+4).
Então a fração vira
\frac{h\,(2x+h+4)} {h\bigl(\sqrt{(x+h)^{2}+4(x+h)-6}+\sqrt{x^{2}+4x-6}\bigr)} \;=\; \frac{2x+h+4} {\sqrt{(x+h)^{2}+4(x+h)-6}+\sqrt{x^{2}+4x-6}}.

Passo 5

Agora fazemos o limite h\to0, substituindo h=0 na expressão acima:
f'(x) =\frac{2x+4}{2\sqrt{x^{2}+4x-6}} =\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-6}}.

Resposta

f'(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+4x-6}}.

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