Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x^{3}-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\sqrt{x^3 - x^2} usando a definição
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Vamos aplicar essa definição e, para lidar com as raízes, usar a técnica de racionalização.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença e multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\sqrt{(x+h)^3-(x+h)^2}-\sqrt{x^3-x^2}}{h} \cdot\frac{\sqrt{(x+h)^3-(x+h)^2}+\sqrt{x^3-x^2}} {\sqrt{(x+h)^3-(x+h)^2}+\sqrt{x^3-x^2}}.

Passo 3

No numerador surge a diferença de quadrados:
\bigl((x+h)^3-(x+h)^2\bigr)-\bigl(x^3-x^2\bigr) =3x^2h+3xh^2+h^3-2xh-h^2 =h\bigl(3x^2+3xh+h^2-2x-h\bigr).
Assim o quociente fica
\frac{h\bigl(3x^2+3xh+h^2-2x-h\bigr)} {h\bigl(\sqrt{(x+h)^3-(x+h)^2}+\sqrt{x^3-x^2}\bigr)} =\frac{3x^2+3xh+h^2-2x-h} {\sqrt{(x+h)^3-(x+h)^2}+\sqrt{x^3-x^2}}.

Passo 4

Fazendo h\to0 obtemos
f'(x) =\lim_{h\to0} \frac{3x^2+3xh+h^2-2x-h} {\sqrt{(x+h)^3-(x+h)^2}+\sqrt{x^3-x^2}} =\frac{3x^2-2x}{2\sqrt{x^3-x^2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{3x^2-2x}{2\sqrt{x^3-x^2}}.

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