Calcule usando a definição de limite a derivada f^{\prime}(x), para as seguintes funções:
f(x)=2 x^{3}+4 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) de
f(x)=2x^{3}+4x^{2}+x
usando a definição de derivada por limite. O conteúdo principal é aplicar
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 2

Escrevemos a diferença de incrementos segundo a definição:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Passo 3

Primeiro calculamos f(x+h):
f(x+h) =2(x+h)^{3}+4(x+h)^{2}+(x+h).
Desenvolvendo os binômios, temos
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}, \quad (x+h)^{2}=x^{2}+2x h+h^{2},
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f(x+h) =2\bigl(x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}\bigr) +4\bigl(x^{2}+2x h+h^{2}\bigr) +(x+h).
Expandindo:
f(x+h) =2x^{3}+6x^{2}h+6x h^{2}+2h^{3} +4x^{2}+8x h+4h^{2} +x+h.

Passo 4

Agora subtraímos f(x):
f(x+h)-f(x) =\bigl(2x^{3}+6x^{2}h+6x h^{2}+2h^{3}+4x^{2}+8x h+4h^{2}+x+h\bigr) -\bigl(2x^{3}+4x^{2}+x\bigr).
Cancelam-se 2x^{3}, 4x^{2} e x, restando
f(x+h)-f(x) =6x^{2}h+6x h^{2}+2h^{3}+8x h+4h^{2}+h.

Passo 5

Fatoramos h no numerador e simplificamos com o denominador:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{h\bigl(6x^{2}+6x h+2h^{2}+8x+4h+1\bigr)}{h} =6x^{2}+8x+1+ h\,(6x+4)+2h^{2}.
Tomando o limite h\to0, os termos com h e h^{2} vão a zero, ficando
f'(x)=6x^{2}+8x+1.

Resposta

f'(x)=6x^{2}+8x+1

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