Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular, usando a definição (ε–δ), o seguinte limite:
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
.
Pergunta explícita: - Determinar o valor
tal que, segundo a definição, para todo existe com implicando .
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de limite que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
A afirmação significa, por definição, que:
A afirmação
O que isso quer dizer em palavras simples:
- Dado qualquer “tolerância”
que você imponha sobre o valor da função, existe uma “tolerância” para a entrada (em torno de ) que garante que fica dentro da tolerância em relação a . - Os símbolos
e apenas formalizam “para todo” e “existe”.
Passo 3
Antes de provar, um palpite razoável (pela inspeção da função) é que o limite é
, porque a função identidade
toma o valor
em
e não tem comportamento estranho ali. Agora vamos provar formalmente que o limite é realmente
usando a definição.
Passo 4
Prova ε–δ detalhada.
Seja um arbitrário. Queremos encontrar um
tal que, sempre que
, teremos
.
Seja um
Calculemos a expressão que precisamos controlar:
Isso é ótimo: a diferença entre
e
é exatamente a distância de
até
.
Uma escolha natural e simples é tomar
Agora verifiquemos a implicação exigida pela definição: se
, então substituindo
segue
Como
foi arbitrário, isso prova que para todo
existe
(especificamente
) satisfazendo a condição da definição. Logo, pelo critério ε–δ,
Passo 5
Observações didáticas e exemplos rápidos para fixar:
- A escolha
é típica para a função identidade; para outras funções lineares costuma-se escolher (se ). - Exemplo numérico: se pedir
, pegar . Então sempre que teremos , ou seja, está a menos de de e portanto está a menos de de . - Moral: a identidade é a função mais direta — o valor do limite em
é exatamente .