Calcule, usando a definição, os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} x

Passo 1

O enunciado pede calcular, usando a definição (ε–δ), o seguinte limite:
\lim_{x\to 1} x.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=x.
  • O ponto onde a variável se aproxima é a=1.
    Pergunta explícita:
  • Determinar o valor L tal que, segundo a definição, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 com 0<|x-1|<\delta implicando |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de limite que vamos usar (passo-a-passo, sem pressa).
A afirmação \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=L significa, por definição, que:
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \exists\delta>0\\ \text{ tal que }\\\ 0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.
O que isso quer dizer em palavras simples:
  • Dado qualquer “tolerância” \varepsilon que você imponha sobre o valor da função, existe uma “tolerância” \delta para a entrada x (em torno de a) que garante que f(x) fica dentro da tolerância \varepsilon em relação a L.
  • Os símbolos \forall e \exists apenas formalizam “para todo” e “existe”.

Passo 3

Antes de provar, um palpite razoável (pela inspeção da função) é que o limite é L=1, porque a função identidade f(x)=x toma o valor 1 em x=1 e não tem comportamento estranho ali. Agora vamos provar formalmente que o limite é realmente \;1\; usando a definição.

Passo 4

Prova ε–δ detalhada.
Seja um \varepsilon>0 arbitrário. Queremos encontrar um \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, teremos |f(x)-1|<\varepsilon.
Calculemos a expressão que precisamos controlar:
|f(x)-1| = |x-1|.
Isso é ótimo: a diferença entre f(x) e 1 é exatamente a distância de x até 1.
Uma escolha natural e simples é tomar
\delta=\varepsilon.
Agora verifiquemos a implicação exigida pela definição: se 0<|x-1|<\delta, então substituindo \delta=\varepsilon segue
|f(x)-1| = |x-1| < \delta = \varepsilon.
Como \varepsilon>0 foi arbitrário, isso prova que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\varepsilon) satisfazendo a condição da definição. Logo, pelo critério ε–δ,
\lim_{x\to 1} x = 1.

Passo 5

Observações didáticas e exemplos rápidos para fixar:
  • A escolha \delta=\varepsilon é típica para a função identidade; para outras funções lineares f(x)=mx+b costuma-se escolher \delta=\varepsilon/|m| (se m\neq0).
  • Exemplo numérico: se pedir \varepsilon=0,1, pegar \delta=0,1. Então sempre que 0<|x-1|<0,1 teremos |x-1|<0,1, ou seja, x está a menos de 0,1 de 1 e portanto f(x)=x está a menos de 0,1 de 1.
  • Moral: a identidade é a função mais direta — o valor do limite em a é exatamente a.

Resposta

1

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