Exercício 4 Calcule (usando substituição):
\int_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{5}}\,dx
usando substituição. O conteúdo envolve reconhecer que a derivada de x^{2}+1 aparece no numerador e, portanto, podemos usar a mudança de variável u=x^{2}+1.

Passo 2

Definimos
u = x^{2}+1,
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du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=1. Quando x=1, u=2.

Passo 3

Substituindo na integral, vem
\int_{0}^{1} \frac{x}{\bigl(x^{2}+1\bigr)^{5}}\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \frac{1}{u^{5}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{-5}\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada:
\int u^{-5}\,du = \frac{u^{-4}}{-4}.
Portanto,
\frac{1}{2}\int_{1}^{2} u^{-5}\,du = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{u^{-4}}{-4}\biggr]_{1}^{2} = -\frac{1}{8}\bigl[\,2^{-4}-1^{-4}\bigr] = -\frac{1}{8}\Bigl(\tfrac{1}{16}-1\Bigr) = \frac{15}{128}.

Resposta

\frac{15}{128}.

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