Calcule, usando integração, o volume do sólido limitados pelas superfícies z=1, z=2 e z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=1, z=2 e z=raizx^2+y^2. Trata-se de um “fatia” de cone truncado entre as alturas z=1 e z=2. Para explorar a simetria em torno do eixo z, usaremos coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
r=raizx^2+y^2, thetain[0,2pi], zinR,
e a condição z=raizx^2+y^2 vira r=z. Como o sólido fica entre z=1 e z=2 e abaixo da superfície r=z, para cada z temos
0<= r<= z, 1<= z<= 2, 0<=theta<= 2pi

Passo 3

O volume em coordenadas cilíndricas é
V=integraltheta=0^2piintegralz=1^2integralr=0^zr,dr,dz,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em r:
integral0^zr,dr=z^22,
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V=integral0^2piintegral1^2z^22,dz,dtheta

Passo 5

Agora integramos em z e depois em theta:
integral1^2z^22,dz =z^36|1^2 =8-16 =76,
V=integral0^2pi76,dtheta =2picdot76 =7pi3

Resposta

V=7pi3

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